Номер 4.160, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.160. Если A, B, C – углы треугольника, то докажите тождества:

1) $\sin(2nA) + \sin(2nB) + \sin(2nC) = (-1)^{n+1}4\sin(nA)\sin(nB)\sin(nC);$

2) $\sin((2n+1)A) + \sin((2n+1)B) + \sin((2n+1)C) = (-1)^n 4\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right) \times A \cos\left(\frac{2n+1}{2}\right) B \cos\left(\frac{2n+1}{2}\right) C.$

1) $\sin2nA+\sin2nB+\sin2nC=(-1)^{n+1}4\sin nA \sin nB \sin nC$

Поскольку A, B, и C являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$, то есть $A+B+C=\pi$. Из этого следует, что $A+B = \pi-C$.

Мы начнем с преобразования левой части тождества. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$LHS = (\sin2nA + \sin2nB) + \sin2nC = 2\sin\frac{2nA+2nB}{2}\cos\frac{2nA-2nB}{2} + \sin2nC$

$LHS = 2\sin(n(A+B))\cos(n(A-B)) + \sin2nC$

Используем соотношение $A+B = \pi-C$ для аргумента синуса:

$\sin(n(A+B)) = \sin(n(\pi-C)) = \sin(n\pi-nC)$

Применим формулу приведения: $\sin(n\pi - x) = \sin(n\pi)\cos x - \cos(n\pi)\sin x = 0 - (-1)^n\sin x = (-1)^{n+1}\sin x$.

Таким образом, $\sin(n(A+B)) = (-1)^{n+1}\sin nC$.

Подставим это обратно в выражение для левой части. Также используем формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$ для $\sin2nC$:

$LHS = 2(-1)^{n+1}\sin nC \cos(n(A-B)) + 2\sin nC \cos nC$

Вынесем общий множитель $2\sin nC$ за скобки:

$LHS = 2\sin nC [(-1)^{n+1}\cos(n(A-B)) + \cos nC]$

Теперь преобразуем $\cos nC$, используя $C=\pi-(A+B)$:

$\cos nC = \cos(n(\pi-(A+B))) = \cos(n\pi-n(A+B))$

По формуле приведения $\cos(n\pi - x) = \cos(n\pi)\cos x + \sin(n\pi)\sin x = (-1)^n\cos x$.

Следовательно, $\cos nC = (-1)^n\cos(n(A+B))$.

Подставим это в наше выражение:

$LHS = 2\sin nC [(-1)^{n+1}\cos(n(A-B)) + (-1)^n\cos(n(A+B))]$

Вынесем $(-1)^{n+1}$ из скобок:

$LHS = 2(-1)^{n+1}\sin nC [\cos(n(A-B)) - \cos(n(A+B))]$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(n(A-B)) - \cos(n(A+B)) = -2\sin\frac{n(A-B)+n(A+B)}{2}\sin\frac{n(A-B)-n(A+B)}{2}$

$= -2\sin(nA)\sin(-nB) = 2\sin(nA)\sin(nB)$

Подставляя это обратно, получаем:

$LHS = 2(-1)^{n+1}\sin nC (2\sin nA \sin nB) = (-1)^{n+1}4\sin nA \sin nB \sin nC$

Таким образом, левая часть равна правой, и тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $\sin(2n+1)A+\sin(2n+1)B+\sin(2n+1)C=(-1)^n4\cos\frac{(2n+1)A}{2}\cos\frac{(2n+1)B}{2}\cos\frac{(2n+1)C}{2}$

Обозначим $k = 2n+1$ для упрощения записи. Тождество принимает вид:

$\sin kA + \sin kB + \sin kC = (-1)^n4\cos\frac{kA}{2}\cos\frac{kB}{2}\cos\frac{kC}{2}$

Из условия $A+B+C=\pi$ следует, что $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.

Преобразуем левую часть (LHS), используя формулу суммы синусов и синуса двойного угла:

$LHS = (\sin kA + \sin kB) + \sin kC = 2\sin\frac{k(A+B)}{2}\cos\frac{k(A-B)}{2} + 2\sin\frac{kC}{2}\cos\frac{kC}{2}$

Преобразуем член $\sin\frac{k(A+B)}{2}$, используя $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$:

$\sin\frac{k(A+B)}{2} = \sin(k(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2})) = \sin(\frac{k\pi}{2}-\frac{kC}{2})$

Так как $k=2n+1$, $\frac{k\pi}{2} = \frac{(2n+1)\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$.

$\sin(n\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{kC}{2}) = \sin(n\pi)\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{kC}{2}) + \cos(n\pi)\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{kC}{2}) = 0 + (-1)^n\cos\frac{kC}{2} = (-1)^n\cos\frac{kC}{2}$

Подставим это в выражение для LHS:

$LHS = 2(-1)^n\cos\frac{kC}{2}\cos\frac{k(A-B)}{2} + 2\sin\frac{kC}{2}\cos\frac{kC}{2}$

Вынесем $2\cos\frac{kC}{2}$ за скобки:

$LHS = 2\cos\frac{kC}{2}[(-1)^n\cos\frac{k(A-B)}{2} + \sin\frac{kC}{2}]$

Теперь преобразуем $\sin\frac{kC}{2}$, используя $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}$:

$\sin\frac{kC}{2} = \sin(k(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2})) = \sin(\frac{k\pi}{2}-\frac{k(A+B)}{2})$

По аналогии с предыдущим преобразованием, это выражение равно $(-1)^n\cos\frac{k(A+B)}{2}$.

Подставим это обратно:

$LHS = 2\cos\frac{kC}{2}[(-1)^n\cos\frac{k(A-B)}{2} + (-1)^n\cos\frac{k(A+B)}{2}]$

Вынесем $(-1)^n$ за скобки:

$LHS = 2(-1)^n\cos\frac{kC}{2}[\cos\frac{k(A-B)}{2} + \cos\frac{k(A+B)}{2}]$

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos\frac{k(A-B)}{2} + \cos\frac{k(A+B)}{2} = 2\cos\frac{\frac{k(A-B)}{2}+\frac{k(A+B)}{2}}{2}\cos\frac{\frac{k(A-B)}{2}-\frac{k(A+B)}{2}}{2}$

$= 2\cos(\frac{kA}{2})\cos(\frac{-kB}{2}) = 2\cos\frac{kA}{2}\cos\frac{kB}{2}$

Подставляя результат в выражение для LHS, получаем:

$LHS = 2(-1)^n\cos\frac{kC}{2}(2\cos\frac{kA}{2}\cos\frac{kB}{2}) = (-1)^n4\cos\frac{kA}{2}\cos\frac{kB}{2}\cos\frac{kC}{2}$

Заменив $k$ обратно на $2n+1$, мы получаем правую часть исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.