Номер 4.163, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.163. Докажите равенства:

1) $\sin 2\alpha = \sin 2\beta;$

2) $\cos 2\alpha = -\cos 2\beta,$

если $\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta = 1.$

Начнем с преобразования данного в условии равенства $tg\alpha \cdot tg\beta = 1$.
Используя определение тангенса $tgx = \frac{sinx}{cosx}$, получим (при условии, что $cos\alpha \neq 0$ и $cos\beta \neq 0$):
$\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{sin\beta}{cos\beta} = 1$
Отсюда следует, что $sin\alpha \cdot sin\beta = cos\alpha \cdot cos\beta$.
Перенеся все члены в одну часть, получим:
$cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta = 0$
Левая часть этого равенства является формулой косинуса суммы углов, $cos(\alpha + \beta)$.
Таким образом, исходное условие эквивалентно равенству $cos(\alpha + \beta) = 0$.
Это означает, что сумма углов $\alpha + \beta$ равна $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Это ключевое соотношение, которое мы будем использовать для доказательства.

1) sin2α=sin2β;

Для доказательства воспользуемся выведенным соотношением $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Умножим обе части на 2: $2(\alpha + \beta) = 2(\frac{\pi}{2} + \pi k)$, что дает $2\alpha + 2\beta = \pi + 2\pi k$.
Выразим отсюда $2\beta$:
$2\beta = \pi - 2\alpha + 2\pi k$.
Теперь подставим это выражение в $sin(2\beta)$:
$sin(2\beta) = sin(\pi - 2\alpha + 2\pi k)$.
Поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, имеем $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$.
Следовательно, $sin(2\beta) = sin(\pi - 2\alpha)$.
Используя формулу приведения $sin(\pi - y) = sin(y)$, получаем:
$sin(2\beta) = sin(2\alpha)$.
Таким образом, равенство $sin(2\alpha) = sin(2\beta)$ доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) cos2α=−cos2β

Аналогично первому пункту, используем соотношение $2\beta = \pi - 2\alpha + 2\pi k$.
Подставим это выражение в $cos(2\beta)$:
$cos(2\beta) = cos(\pi - 2\alpha + 2\pi k)$.
Поскольку косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, имеем $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$.
Следовательно, $cos(2\beta) = cos(\pi - 2\alpha)$.
Используя формулу приведения $cos(\pi - y) = -cos(y)$, получаем:
$cos(2\beta) = -cos(2\alpha)$.
Это равенство эквивалентно тому, что требовалось доказать: $cos(2\alpha) = -cos(2\beta)$.

Ответ: Равенство доказано.