Номер 4.170, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.170. Является ли функция $y = \cos^2 x$ периодической? Если да, то найдите ее наименьший положительный период.

Да, функция $y = \cos^2 x$ является периодической. Чтобы найти ее наименьший положительный период, преобразуем данную функцию, используя тригонометрическую формулу понижения степени.

Формула понижения степени для косинуса имеет вид: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим эту формулу к нашей функции $y = \cos^2 x$:

$ y = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x) $.

Период функции $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ совпадает с периодом функции $g(x) = \cos(2x)$, так как сложение с константой $\frac{1}{2}$ (сдвиг графика вверх) и умножение на константу $\frac{1}{2}$ (сжатие графика к оси абсцисс) не влияют на величину периода.

Наименьший положительный период функции вида $f(x) = \cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\cos(x)$, равный $2\pi$.

Для функции $g(x) = \cos(2x)$ коэффициент $k=2$. Найдем ее период:

$ T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi $.

Следовательно, наименьший положительный период функции $y = \cos^2 x$ равен $\pi$.

Можно также выполнить проверку. По определению периодической функции, должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.

$ y(x+\pi) = \cos^2(x+\pi) = (\cos(x+\pi))^2 $.

Используя формулу приведения $\cos(x+\pi) = -\cos x$, получаем:

$ (\cos(x+\pi))^2 = (-\cos x)^2 = \cos^2 x = y(x) $.

Равенство $y(x+\pi) = y(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, значит $\pi$ является периодом. Так как он был получен на основе периода функции $\cos(2x)$, он является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Да, функция является периодической, ее наименьший положительный период равен $\pi$.