Практическая работа, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Докажите соотношения: 1) $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$;

2) $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Данные соотношения являются законами де Моргана для теории множеств (или булевой алгебры). Докажем их, используя диаграммы Эйлера-Венна, где множества A и B являются подмножествами универсального множества U.

1) Докажите соотношение $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

В данной записи $A+B$ означает объединение множеств ($A \cup B$), $A \cdot B$ — пересечение множеств ($A \cap B$), а черта сверху ($\overline{X}$) — дополнение множества X до универсального множества U.

Шаг 1: Изобразим левую часть равенства $\overline{A + B}$ (дополнение объединения).

Сначала рассмотрим объединение $A+B$. Это область, включающая все элементы, принадлежащие множеству A, или множеству B, или обоим сразу. На диаграмме она закрашена серым.

Диаграмма для $A+B$:

Дополнение объединения, $\overline{A+B}$, — это все элементы универсального множества U, которые не входят в $A+B$. На диаграмме это область вне обоих кругов.

Итоговая диаграмма для левой части, $\overline{A+B}$:

Шаг 2: Изобразим правую часть равенства $\overline{A} \cdot \overline{B}$ (пересечение дополнений).

Сначала изобразим дополнение множества A, $\overline{A}$ (все, что вне A), и дополнение множества B, $\overline{B}$ (все, что вне B).

Диаграмма для $\overline{A}$:

Диаграмма для $\overline{B}$:

Пересечение этих двух областей, $\overline{A} \cdot \overline{B}$, — это область, которая является общей для $\overline{A}$ и $\overline{B}$, то есть все элементы, которые не принадлежат ни A, ни B. Эта область совпадает с областью, закрашенной на диаграмме для $\overline{A+B}$.

Шаг 3: Сравнение.

Сравнивая итоговую диаграмму для $\overline{A+B}$ и область пересечения для $\overline{A} \cdot \overline{B}$, видим, что они полностью совпадают. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Доказательство представлено выше с помощью диаграмм Эйлера-Венна, которые показывают идентичность областей, соответствующих левой и правой частям равенства.

2) Докажите соотношение $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$

Шаг 1: Изобразим левую часть равенства $\overline{A \cdot B}$ (дополнение пересечения).

Сначала рассмотрим пересечение $A \cdot B$. Это область, включающая все элементы, принадлежащие одновременно и множеству A, и множеству B. На диаграмме она закрашена серым.

Диаграмма для $A \cdot B$:

Дополнение пересечения, $\overline{A \cdot B}$, — это все элементы универсального множества U, которые не входят в $A \cdot B$. На диаграмме это вся область за исключением общей части кругов A и B.

Итоговая диаграмма для левой части, $\overline{A \cdot B}$:

Шаг 2: Изобразим правую часть равенства $\overline{A} + \overline{B}$ (объединение дополнений).

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим диаграммы для $\overline{A}$ и $\overline{B}$.

Диаграмма для $\overline{A}$:

Диаграмма для $\overline{B}$:

Объединение этих двух областей, $\overline{A} + \overline{B}$, — это область, которая включает все закрашенные части из обеих диаграмм. Единственная незакрашенная область — это та, что не входит ни в $\overline{A}$, ни в $\overline{B}$, то есть пересечение $A \cdot B$. Таким образом, итоговая область для $\overline{A} + \overline{B}$ совпадает с областью, закрашенной на диаграмме для $\overline{A \cdot B}$.

Шаг 3: Сравнение.

Сравнивая итоговую диаграмму для $\overline{A \cdot B}$ и область объединения для $\overline{A} + \overline{B}$, видим, что они полностью совпадают. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Доказательство представлено выше с помощью диаграмм Эйлера-Венна, которые показывают идентичность областей, соответствующих левой и правой частям равенства.