Вопросы, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие события называются элементарными событиями?

2. Что такое пространство элементарных событий? Приведите пример.

3. Какие события называются достоверными, невозможными, совместными и несовместными? Приведите пример.

4. Что такое случайное событие? Приведите пример.

5. Что такое противоположное событие, следствие? Приведите пример.

6. Объясните понятия зависимых и независимых событий.

7. Какие действия применяются к событиям? Объясните их диаграммами Эйлера–Венна.

1. Какие события называются элементарными событиями?

Элементарными событиями (или элементарными исходами) называются простейшие, неделимые результаты некоторого случайного эксперимента. В результате одного испытания может произойти только одно элементарное событие. Из элементарных событий состоят все остальные события.

Ответ: Элементарное событие — это любой простейший, неделимый исход случайного эксперимента.

2. Что такое пространство элементарных событий? Приведите пример.

Пространство элементарных событий — это множество всех возможных элементарных событий (исходов) в данном эксперименте. Обычно оно обозначается греческой буквой омега ($ \Omega $).

Пример: эксперимент заключается в однократном броске стандартного игрального кубика. Элементарными событиями являются выпадения чисел от 1 до 6. Пространство элементарных событий в этом случае будет: $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Ответ: Пространство элементарных событий — это множество всех возможных исходов эксперимента. Пример: для броска монеты $ \Omega = \{Орел, Решка\} $.

3. Какие события называются достоверными, невозможными, совместными и несовместными? Приведите пример.

Достоверное событие — это событие, которое гарантированно произойдет в результате эксперимента. Оно включает в себя все исходы из пространства элементарных событий $ \Omega $.
Пример: при броске игрального кубика событие "выпадет число, меньшее 7" является достоверным.

Невозможное событие — это событие, которое не может произойти в результате эксперимента ни при каких условиях. Ему соответствует пустое множество $ \emptyset $.
Пример: при броске игрального кубика событие "выпадет число 8" является невозможным.

Совместные события — это два или более события, которые могут произойти одновременно в рамках одного эксперимента. Их пересечение не является пустым множеством.
Пример: при вытаскивании одной карты из колоды событие A="вытащить даму" и событие B="вытащить карту пиковой масти" являются совместными, так как можно вытащить "даму пик".

Несовместные события — это два или более события, которые не могут произойти одновременно в рамках одного эксперимента. Появление одного из них исключает появление другого.
Пример: при броске кубика событие A="выпало четное число" и событие B="выпало нечетное число" являются несовместными.

Ответ: Достоверное — происходит всегда (выпадет меньше 7 на кубике). Невозможное — не происходит никогда (выпадет 7 на кубике). Совместные — могут произойти вместе (выпадет "четное число" и "число больше 3"). Несовместные — не могут произойти вместе (выпадет "четное число" и "нечетное число").

4. Что такое случайное событие? Приведите пример.

Случайное событие — это событие, которое в результате эксперимента может как произойти, так и не произойти. Любое подмножество пространства элементарных событий, за исключением невозможного и достоверного событий, является случайным.

Пример: при броске монеты событие "выпадение орла" является случайным. Оно может произойти, а может и не произойти.

Ответ: Случайное событие — это исход эксперимента, который может произойти, а может и не произойти. Пример: выигрыш в лотерею.

5. Что такое противоположное событие, следствие? Приведите пример.

Противоположное событие (или дополнение) для события $A$ — это событие, обозначаемое $ \bar{A} $, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$. События $A$ и $ \bar{A} $ несовместны и вместе образуют все пространство элементарных событий. Сумма их вероятностей равна 1: $ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $.
Пример: при броске кубика событию A="выпало число 5" противоположным является событие $ \bar{A} $="не выпало число 5", то есть выпало 1, 2, 3, 4 или 6.

Следствие. Говорят, что событие $B$ является следствием события $A$, если каждый раз, когда происходит событие $A$, обязательно происходит и событие $B$. Это означает, что множество исходов, благоприятствующих событию $A$, является подмножеством исходов, благоприятствующих событию $B$ ($ A \subseteq B $).
Пример: при броске кубика событие B="выпало четное число" ($\{2, 4, 6\}$) является следствием события A="выпала четверка" ($\{4\}$). Если произойдет A, то гарантированно произойдет и B.

Ответ: Противоположное событие $ \bar{A} $ — это "не A". Следствие ($ A \subseteq B $) — если произошло A, значит, произошло и B.

6. Объясните понятия зависимых и независимых событий.

Независимые события — это события, для которых вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Для независимых событий A и B вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $.
Пример: проводится два броска монеты. Событие A="в первый раз выпал орел" и событие B="во второй раз выпала решка" являются независимыми. Результат первого броска никак не влияет на результат второго.

Зависимые события — это события, для которых вероятность наступления одного из них изменяется в зависимости от того, произошло или не произошло другое событие. Для зависимых событий $ P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) $.
Пример: из колоды карт (без джокеров) вынимают последовательно две карты без возвращения. Событие A="первая карта — туз" и событие B="вторая карта — туз" являются зависимыми. Если первая карта была тузом (событие A произошло), то вероятность вытащить туз вторым уменьшается, так как и тузов, и карт в колоде стало меньше.

Ответ: Независимые события не влияют друг на друга (два броска монеты). Зависимые события влияют (две карты из колоды без возвращения).

7. Какие действия применяются к событиям? Объясните их диаграммами Эйлера-Венна.

К событиям, как к множествам, применяются следующие основные действия: объединение (сумма), пересечение (произведение), разность и дополнение.

Объединение (сумма) событий $A$ и $B$ (обозначается $ A \cup B $) — это событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий: $A$ или $B$ или обоих вместе. На диаграмме закрашена вся область, занимаемая кругами A и B.

Пересечение (произведение) событий $A$ и $B$ (обозначается $ A \cap B $) — это событие, которое заключается в одновременном наступлении и события $A$, и события $B$. На диаграмме закрашена общая область пересечения кругов A и B.

Разность событий $A$ и $B$ (обозначается $ A \setminus B $) — это событие, которое заключается в том, что $A$ происходит, а $B$ не происходит. На диаграмме закрашена та часть круга A, которая не пересекается с кругом B.

Дополнение (противоположное событие) $ \bar{A} $ — это событие, которое наступает, когда не наступает $A$. Это разность $ \Omega \setminus A $. На диаграмме закрашена вся область пространства $ \Omega $ за исключением круга A.

Ответ: Основные действия над событиями — это объединение ($ A \cup B $), пересечение ($ A \cap B $), разность ($ A \setminus B $) и дополнение ($ \bar{A} $), которые можно наглядно представить с помощью диаграмм Эйлера-Венна.