Номер 4.173, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.173. Докажите тождество $tg^3 \varphi + tg^2 \varphi + tg\varphi + 1 - \frac{\sin \varphi}{\cos^3 \varphi} = \frac{1}{\cos^2 \varphi}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем первые четыре слагаемых и вынесем общие множители за скобки:

$\text{tg}^3\varphi + \text{tg}^2\varphi + \text{tg}\varphi + 1 - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = (\text{tg}^3\varphi + \text{tg}^2\varphi) + (\text{tg}\varphi + 1) - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = \text{tg}^2\varphi(\text{tg}\varphi + 1) + 1(\text{tg}\varphi + 1) - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Теперь вынесем общий множитель $(\text{tg}\varphi + 1)$ за скобки:

$(\text{tg}^2\varphi + 1)(\text{tg}\varphi + 1) - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\varphi = \frac{1}{\cos^2\varphi}$. Подставим это выражение в нашу формулу:

$\frac{1}{\cos^2\varphi}(\text{tg}\varphi + 1) - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Раскроем скобки:

$\frac{\text{tg}\varphi}{\cos^2\varphi} + \frac{1}{\cos^2\varphi} - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Заменим $\text{tg}\varphi$ на отношение $\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$:

$\frac{\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}}{\cos^2\varphi} + \frac{1}{\cos^2\varphi} - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} + \frac{1}{\cos^2\varphi} - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Сократим подобные слагаемые $\frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$ и $-\frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$:

$\frac{1}{\cos^2\varphi}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного выражения. Таким образом, тождество доказано.

$\frac{1}{\cos^2\varphi} = \frac{1}{\cos^2\varphi}$

Ответ: Тождество доказано.