Номер 4.171, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.171. Покажите, что значение выражения $ \cos^2x + \cos^2(\alpha+x) - 2\cos\alpha \cdot \cos x \cdot \cos(\alpha+x) $ не зависит от $x$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, мы его упростим, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим данное выражение:

$\cos^2 x + \cos^2(\alpha+x) - 2\cos\alpha \cos x \cos(\alpha+x)$

Сгруппируем второе и третье слагаемые, вынеся за скобки общий множитель $\cos(\alpha+x)$:

$\cos^2 x + \cos(\alpha+x)[\cos(\alpha+x) - 2\cos\alpha \cos x]$

Упростим выражение в квадратных скобках. Для этого воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha+x) = \cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x$.

$\cos(\alpha+x) - 2\cos\alpha \cos x = (\cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x) - 2\cos\alpha \cos x = -\cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x$

Вынесем знак минус за скобки и воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha-x) = \cos\alpha \cos x + \sin\alpha \sin x$.

$-(\cos\alpha \cos x + \sin\alpha \sin x) = -\cos(\alpha-x)$

Теперь подставим полученный результат обратно в преобразуемое выражение:

$\cos^2 x + \cos(\alpha+x) [-\cos(\alpha-x)] = \cos^2 x - \cos(\alpha+x)\cos(\alpha-x)$

Применим формулу произведения косинусов, которая следует из формул косинуса суммы и разности: $\cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \sin^2 B$. В нашем случае $A=\alpha$ и $B=x$.

$\cos(\alpha+x)\cos(\alpha-x) = \cos^2\alpha - \sin^2 x$

Подставим это в наше выражение:

$\cos^2 x - (\cos^2\alpha - \sin^2 x) = \cos^2 x - \cos^2\alpha + \sin^2 x$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$(\cos^2 x + \sin^2 x) - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Таким образом, значение исходного выражения равно $\sin^2\alpha$. Так как это выражение не содержит переменной $x$, его значение от $x$ не зависит, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно $\sin^2\alpha$, оно не зависит от $x$.