Номер 4.172, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.172. Упростите выражение $\frac{\sin^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} + \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{1 + \operatorname{tg}^2 \varphi} - \sin \varphi$.

В условии задачи, скорее всего, содержится опечатка. В знаменателе второй дроби вместо $1 + \text{tg}^2 \varphi$ должно быть $1 - \text{tg}^2 \varphi$. При $1 + \text{tg}^2 \varphi$ выражение не упрощается до простого вида. Ниже приведено решение для исправленного выражения:

$ \frac{\sin^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} + \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{1 - \text{tg}^2 \varphi} - \sin \varphi $

1. Упростим второе слагаемое. Для этого представим тангенс как отношение синуса к косинусу и упростим знаменатель:

$ \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{1 - \text{tg}^2 \varphi} = \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{1 - \frac{\sin^2 \varphi}{\cos^2 \varphi}} = \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{\frac{\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi}{\cos^2 \varphi}} $

Теперь "перевернем" дробь в знаменателе и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ \frac{(\sin \varphi + \cos \varphi)\cos^2 \varphi}{\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi} = \frac{(\sin \varphi + \cos \varphi)\cos^2 \varphi}{(\cos \varphi - \sin \varphi)(\cos \varphi + \sin \varphi)} $

Сократим одинаковые множители $(\sin \varphi + \cos \varphi)$:

$ \frac{\cos^2 \varphi}{\cos \varphi - \sin \varphi} $

Изменим знак в знаменателе, вынеся минус за дробь:

$ -\frac{\cos^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} $

2. Подставим упрощенное слагаемое обратно в исходное выражение:

$ \frac{\sin^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} - \frac{\cos^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} - \sin \varphi $

3. Объединим первые две дроби, так как у них одинаковый знаменатель:

$ \frac{\sin^2 \varphi - \cos^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} - \sin \varphi $

4. Применим формулу разности квадратов к числителю первой дроби:

$ \frac{(\sin \varphi - \cos \varphi)(\sin \varphi + \cos \varphi)}{\sin \varphi - \cos \varphi} - \sin \varphi $

5. Сократим дробь на $(\sin \varphi - \cos \varphi)$:

$ (\sin \varphi + \cos \varphi) - \sin \varphi $

6. Приведем подобные слагаемые:

$ \sin \varphi + \cos \varphi - \sin \varphi = \cos \varphi $

Ответ: $ \cos \varphi $.