Номер 5.3, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.3. Используя условие предыдущей задачи, укажите все элементарные события, входящие в состав события:

1) $A+B$;

2) $B+C$;

3) $A+D$;

4) $A \cdot \overline{B}$;

5) $B \cdot \overline{C}$;

6) $A \cdot \overline{D}$;

7) $A-B$;

8) $B-C$;

9) $A-D$;

10) $D-A$;

11) $(\overline{A}+C)-\overline{D}$;

12) $\overline{C} \cdot D-A$.

Поскольку условие предыдущей задачи не предоставлено, для решения данной задачи необходимо сделать предположение о пространстве элементарных событий и самих событиях A, B, C и D. Будем исходить из классической постановки задачи для теории вероятностей.

Пусть проводится опыт, состоящий в однократном бросании стандартной шестигранной игральной кости. Пространство элементарных событий $\Omega$ (все возможные исходы) в этом случае будет:$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Определим события A, B, C и D как следующие подмножества $\Omega$:

• Событие A: {выпало число очков не менее 3}, то есть $A = \{3, 4, 5, 6\}$.
• Событие B: {выпало число очков менее 5}, то есть $B = \{1, 2, 3, 4\}$.
• Событие C: {выпало четное число очков}, то есть $C = \{2, 4, 6\}$.
• Событие D: {выпало нечетное число очков}, то есть $D = \{1, 3, 5\}$.

В алгебре событий приняты следующие обозначения операций:

• Сумма событий ($A+B$) — это объединение множеств ($A \cup B$), событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий A или B.
• Произведение событий ($A \cdot B$) — это пересечение множеств ($A \cap B$), событие, состоящее в том, что произойдут оба события A и B.
• Разность событий ($A-B$) — это разность множеств ($A \setminus B$), событие, состоящее в том, что событие A произойдет, а событие B не произойдет. Эквивалентно $A \cap \bar{B}$.
• Противоположное событие ($\bar{A}$) — это дополнение множества до $\Omega$ ($\Omega \setminus A$), событие, состоящее в том, что событие A не произойдет.

Исходя из этих определений, найдем элементарные события для каждого из указанных составных событий.

1) A+B; Сумма событий A и B соответствует объединению множеств $A \cup B$.
$A+B = A \cup B = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Ответ: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2) B+C; Сумма событий B и C соответствует объединению множеств $B \cup C$.
$B+C = B \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$.
Ответ: {1, 2, 3, 4, 6}.

3) A+D; Сумма событий A и D соответствует объединению множеств $A \cup D$.
$A+D = A \cup D = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 4, 5, 6\}$.
Ответ: {1, 3, 4, 5, 6}.

4) A·B; Произведение событий A и B соответствует пересечению множеств $A \cap B$.
$A \cdot B = A \cap B = \{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{3, 4\}$.
Ответ: {3, 4}.

5) B·C; Произведение событий B и C соответствует пересечению множеств $B \cap C$.
$B \cdot C = B \cap C = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2, 4\}$.
Ответ: {2, 4}.

6) A·D; Произведение событий A и D соответствует пересечению множеств $A \cap D$.
$A \cdot D = A \cap D = \{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\}$.
Ответ: {3, 5}.

7) A−B; Разность событий A и B соответствует разности множеств $A \setminus B$.
$A-B = A \setminus B = \{3, 4, 5, 6\} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \{5, 6\}$.
Ответ: {5, 6}.

8) B−C; Разность событий B и C соответствует разности множеств $B \setminus C$.
$B-C = B \setminus C = \{1, 2, 3, 4\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3\}$.
Ответ: {1, 3}.

9) A−D; Разность событий A и D соответствует разности множеств $A \setminus D$.
$A-D = A \setminus D = \{3, 4, 5, 6\} \setminus \{1, 3, 5\} = \{4, 6\}$.
Ответ: {4, 6}.

10) D−A; Разность событий D и A соответствует разности множеств $D \setminus A$.
$D-A = D \setminus A = \{1, 3, 5\} \setminus \{3, 4, 5, 6\} = \{1\}$.
Ответ: {1}.

11) $\overline{(A+C)}-\overline{D}$; Судя по изображению, имеется в виду $\overline{(\overline{A}+C)}-\overline{D}$. Это можно записать в терминах операций над множествами как $\overline{(\bar{A} \cup C)} \setminus \bar{D}$.
Сначала найдем множества для противоположных событий:$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2\}$.$\bar{D} = \Omega \setminus D = \{2, 4, 6\}$. (Заметим, что $\bar{D}=C$).
Теперь вычислим выражение по шагам:1. $\bar{A} \cup C = \{1, 2\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 4, 6\}$.2. $\overline{(\bar{A} \cup C)} = \Omega \setminus \{1, 2, 4, 6\} = \{3, 5\}$.3. $\overline{(\bar{A} \cup C)} \setminus \bar{D} = \{3, 5\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{3, 5\}$.
Альтернативно, по законам де Моргана: $\overline{(\bar{A} \cup C)} \setminus \bar{D} = (A \cap \bar{C}) \cap D = (\{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\}) \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\}$.
Ответ: {3, 5}.

12) $\overline{C}\cdot D-\overline{A}$; Данное выражение соответствует $(\bar{C} \cap D) \setminus \bar{A}$.
Найдем множества для противоположных событий:$\bar{C} = \Omega \setminus C = \{1, 3, 5\}$. (Заметим, что $\bar{C}=D$).$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2\}$.
Вычислим выражение по шагам:1. $\bar{C} \cap D = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 5\}$.2. $(\bar{C} \cap D) \setminus \bar{A} = \{1, 3, 5\} \setminus \{1, 2\} = \{3, 5\}$.
Ответ: {3, 5}.