Номер 5.8, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. Пусть событие A является следствием события B. Определите значение выражения:

1) $A+B$

2) $A \cdot B$

Условие, что событие A является следствием события B, означает, что если происходит событие B, то обязательно происходит и событие A. В терминах теории множеств это означает, что множество элементарных исходов, благоприятствующих событию B, является подмножеством множества элементарных исходов, благоприятствующих событию A. Математически это записывается как $B \subseteq A$.

Эту взаимосвязь можно наглядно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна, где множество B полностью находится внутри множества A:

Исходя из этого, определим значения выражений.

1) A + B

Суммой двух событий $A + B$ (также обозначается как $A \cup B$) называется событие, которое происходит, если наступает хотя бы одно из событий: либо A, либо B. Поскольку событие B является подмножеством события A ($B \subseteq A$), это означает, что любой элементарный исход, входящий в B, также входит и в A. Следовательно, объединение множеств A и B будет равно самому множеству A. Если произошло событие B, то произошло и A. Если произошло A, но не B, то условие "произошло хотя бы одно" также выполняется. Таким образом, событие $A+B$ эквивалентно событию A.

$A + B = A \cup B = A$

Ответ: $A$.

2) A · B

Произведением двух событий $A \cdot B$ (также обозначается как $A \cap B$) называется событие, которое происходит, если наступают оба события A и B одновременно. Нам нужно найти исходы, которые являются общими для обоих событий. Так как по условию $B \subseteq A$, все исходы события B одновременно являются и исходами события A. Это значит, что пересечение этих двух множеств будет в точности равно множеству B. Совместное наступление A и B возможно тогда и только тогда, когда наступает B.

$A \cdot B = A \cap B = B$

Ответ: $B$.