Номер 5.13, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Упростите выражение:

1) $A+B+C$;

2) $(A+B)\cdot C$;

3) $A \cdot B+C$,

если $A \subset B$.

В данной задаче требуется упростить выражения с операциями над множествами при условии, что множество $A$ является подмножеством множества $B$ ($A \subset B$). В принятых обозначениях знак `+` соответствует операции объединения множеств ($ \cup $), а знак `·` — операции пересечения множеств ($ \cap $).

Условие $A \subset B$ означает, что каждый элемент множества A также является элементом множества B. Визуально это можно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна, где область, обозначающая множество A, полностью находится внутри области, обозначающей множество B.

Из условия $A \subset B$ следуют два ключевых тождества, которые мы будем использовать для упрощения: объединение $A \cup B = B$ (или $A + B = B$) и пересечение $A \cap B = A$ (или $A \cdot B = A$). Первое тождество верно, так как все элементы A уже содержатся в B. Второе верно, так как общими элементами для A и B являются в точности все элементы множества A.

Теперь упростим каждое выражение.

1) A+B+C

Это выражение соответствует $A \cup B \cup C$. Используя ассоциативность объединения, получаем $(A \cup B) \cup C$.

Так как $A \subset B$, то $A \cup B = B$.

Подставляя это в выражение, получаем: $(A \cup B) \cup C = B \cup C$.

В исходных обозначениях: $A+B+C = B+C$.

Ответ: $B+C$

2) (A+B)·C

Это выражение соответствует $(A \cup B) \cap C$.

Сначала упростим выражение в скобках. Из условия $A \subset B$ следует, что $A \cup B = B$.

Подставляя, получаем: $(A \cup B) \cap C = B \cap C$.

В исходных обозначениях: $(A+B) \cdot C = B \cdot C$.

Ответ: $B \cdot C$

3) A·B+C

Это выражение соответствует $(A \cap B) \cup C$.

Сначала упростим пересечение. Из условия $A \subset B$ следует, что $A \cap B = A$.

Подставляя, получаем: $(A \cap B) \cup C = A \cup C$.

В исходных обозначениях: $A \cdot B + C = A+C$.

Ответ: $A+C$