Номер 5.19, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.19. Докажите, что для равенства событий $A$ и $B$ необходимо и достаточно выполнения условий $A \subset B$ и $B \subset A$.

Для доказательства данного утверждения, которое является аксиомой экстенсиональности в теории множеств, необходимо доказать два взаимно обратных утверждения: необходимость и достаточность. События в теории вероятностей рассматриваются как множества элементарных исходов, поэтому мы будем оперировать с ними как с множествами.

Доказательство необходимости

Докажем, что если события A и B равны ($A = B$), то из этого следует, что $A \subset B$ и $B \subset A$.

Пусть дано, что $A = B$. По определению, два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

1. Покажем, что $A \subset B$. Определение "A является подмножеством B" ($A \subset B$) гласит, что любой элемент множества A также является элементом множества B. Возьмем произвольный элементарный исход $\omega$ такой, что $\omega \in A$. Поскольку $A=B$, то по определению равенства множеств, каждый элемент из A должен быть и в B. Следовательно, $\omega \in B$. Так как это верно для любого произвольно выбранного элемента $\omega$ из A, мы заключаем, что $A \subset B$.

2. Покажем, что $B \subset A$. Аналогично, возьмем произвольный элементарный исход $\omega$ такой, что $\omega \in B$. Поскольку $A=B$, каждый элемент из B должен быть и в A. Следовательно, $\omega \in A$. Так как это верно для любого произвольно выбранного элемента $\omega$ из B, мы заключаем, что $B \subset A$.

Таким образом, мы показали, что из $A = B$ следует одновременное выполнение условий $A \subset B$ и $B \subset A$. Необходимость доказана.

Доказательство достаточности

Докажем, что если выполняются условия $A \subset B$ и $B \subset A$, то события A и B равны ($A = B$).

Пусть дано, что $A \subset B$ и $B \subset A$.

Из условия $A \subset B$ следует, что для любого элементарного исхода $\omega$, если $\omega \in A$, то $\omega \in B$.

Из условия $B \subset A$ следует, что для любого элементарного исхода $\omega$, если $\omega \in B$, то $\omega \in A$.

Объединив эти два утверждения, мы получаем, что элементарный исход $\omega$ принадлежит множеству A тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству B. В формальной записи: $\forall \omega (\omega \in A \iff \omega \in B)$.

Это утверждение является определением равенства двух множеств. Следовательно, $A = B$. Достаточность доказана.

Поскольку мы доказали и необходимость, и достаточность, мы доказали, что утверждение "$A = B$" эквивалентно утверждению "$A \subset B$ и $B \subset A$".

Ответ: Утверждение доказано. Для равенства событий $A$ и $B$ необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия включения $A \subset B$ (каждый исход из А принадлежит В) и $B \subset A$ (каждый исход из В принадлежит А).