Страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. Для произвольных событий A, B и C разложите сумму:

1) A + B

Чтобы разложить сумму событий $A + B$ на сумму попарно несовместных событий, мы можем представить её как объединение двух непересекающихся множеств.

Первое событие — это событие $A$.

Второе событие — это часть события $B$, которая не пересекается с $A$. Это означает, что событие $B$ происходит, а событие $A$ не происходит. Такое событие записывается как произведение $B$ и события, противоположного $A$, то есть $\overline{A}B$.

Таким образом, мы представляем сумму $A + B$ в виде суммы двух событий: $A$ и $\overline{A}B$.

$A + B = A + \overline{A}B$

Проверим, являются ли эти события ($A$ и $\overline{A}B$) несовместными. Для этого найдем их произведение (пересечение). Два события несовместны, если их произведение является невозможным событием ($\emptyset$).

$A \cdot (\overline{A}B) = (A\overline{A})B = \emptyset \cdot B = \emptyset$

Поскольку произведение равно невозможному событию, события $A$ и $\overline{A}B$ попарно несовместны.

Их сумма $A + \overline{A}B$ соответствует событию "произошло $A$" или "не произошло $A$ и произошло $B$", что равносильно событию "произошло $A$ или произошло $B$", то есть $A+B$.

На диаграмме Венна это можно представить следующим образом:

Здесь синяя область соответствует событию $A$, а зелёная — событию $\overline{A}B$. Вместе они составляют $A+B$.

Ответ: $A + B = A + \overline{A}B$.

2) A + B + C

Используем тот же подход, что и в первом пункте, последовательно добавляя события.

1. Начинаем с события $A$.

2. Добавляем часть события $B$, которая ещё не была учтена, то есть ту, где $A$ не происходит. Это событие $\overline{A}B$.

3. Добавляем часть события $C$, которая ещё не была учтена, то есть ту, где не происходит ни $A$, ни $B$. Событие "не $A$ и не $B$" записывается как $\overline{A}\overline{B}$ (или, что то же самое, $\overline{A+B}$). Таким образом, третье несовместное событие будет $\overline{A}\overline{B}C$.

В итоге получаем разложение:

$A + B + C = A + \overline{A}B + \overline{A}\overline{B}C$

Проверим попарную несовместность полученных слагаемых:

$A \cdot (\overline{A}B) = (A\overline{A})B = \emptyset$

$A \cdot (\overline{A}\overline{B}C) = (A\overline{A})\overline{B}C = \emptyset$

$(\overline{A}B) \cdot (\overline{A}\overline{B}C) = \overline{A}\overline{A}B\overline{B}C = \overline{A}(B\overline{B})C = \emptyset$

Все три события, $A$, $\overline{A}B$ и $\overline{A}\overline{B}C$, попарно несовместны.

Сумма этих событий $A + \overline{A}B + \overline{A}\overline{B}C$ представляет собой событие "произошло $A$" или "не произошло $A$ и произошло $B$" или "не произошло ни $A$, ни $B$, но произошло $C$". Это в точности соответствует событию "произошло хотя бы одно из событий $A, B, C$", то есть $A+B+C$.

Визуализация на диаграмме Венна:

Здесь синяя область — это $A$, зелёная — $\overline{A}B$, а красная — $\overline{A}\overline{B}C$. Вместе они составляют $A+B+C$.

Ответ: $A + B + C = A + \overline{A}B + \overline{A}\overline{B}C$.

5.17. Докажите, что события $A$, $\overline{A}B$, $\overline{A+B}$ образуют полную группу.

Чтобы доказать, что события $C_1=A$, $C_2=\overline{A}B$ и $C_3=\overline{A+B}$ образуют полную группу, необходимо показать, что они удовлетворяют двум условиям:

1. События попарно несовместны, то есть произведение (пересечение) любых двух из них является невозможным событием ($\emptyset$).

2. Сумма (объединение) этих событий является достоверным событием ($\Omega$), то есть в результате испытания обязательно произойдет одно из этих событий.

В алгебре событий произведение обозначается как $XY$, сумма как $X+Y$, а противоположное событие как $\overline{X}$. В теории множеств это соответствует пересечению ($\cap$), объединению ($\cup$) и дополнению.

1. Доказательство попарной несовместности

Проверим, что пересечение любых двух событий из данной группы пусто.

- Несовместность $A$ и $\overline{A}B$:
Произведение событий $A \cdot (\overline{A}B)$ соответствует пересечению множеств $A \cap (\overline{A} \cap B)$.
Используя свойство ассоциативности пересечения, получаем: $(A \cap \overline{A}) \cap B$.
По определению, пересечение события $A$ и его дополнения $\overline{A}$ является невозможным событием: $A \cap \overline{A} = \emptyset$.
Следовательно, $(A \cap \overline{A}) \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset$.
События $A$ и $\overline{A}B$ несовместны.

- Несовместность $A$ и $\overline{A+B}$:
Произведение событий $A \cdot (\overline{A+B})$ соответствует пересечению $A \cap (\overline{A \cup B})$.
Событие $A$ является подмножеством события $A \cup B$ (т.е. $A \subset (A \cup B)$). Это означает, что если наступает событие $A$, то наступает и событие $A \cup B$. Следовательно, событие $A$ не может произойти одновременно с событием, противоположным $A \cup B$.
Математически, пересечение множества с дополнением его надмножества всегда пусто. Таким образом, $A \cap (\overline{A \cup B}) = \emptyset$.
События $A$ и $\overline{A+B}$ несовместны.

- Несовместность $\overline{A}B$ и $\overline{A+B}$:
Произведение событий $(\overline{A}B) \cdot (\overline{A+B})$ соответствует пересечению $(\overline{A} \cap B) \cap (\overline{A \cup B})$.
Применим один из законов де Моргана: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$.
Подставим это в выражение: $(\overline{A} \cap B) \cap (\overline{A} \cap \overline{B})$.
Используя свойства ассоциативности и коммутативности, перегруппируем члены: $(\overline{A} \cap \overline{A}) \cap (B \cap \overline{B})$.
Так как $\overline{A} \cap \overline{A} = \overline{A}$ и $B \cap \overline{B} = \emptyset$, получаем: $\overline{A} \cap \emptyset = \emptyset$.
События $\overline{A}B$ и $\overline{A+B}$ несовместны.

Таким образом, все три события попарно несовместны.

2. Доказательство полноты группы

Найдем сумму (объединение) данных событий: $A + \overline{A}B + \overline{A+B} = A \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$.
Сначала рассмотрим сумму первых двух слагаемых: $A \cup (\overline{A} \cap B)$. Согласно свойству поглощения (или используя дистрибутивный закон):
$A \cup (\overline{A} \cap B) = (A \cup \overline{A}) \cap (A \cup B)$.
Объединение события и его дополнения есть достоверное событие: $A \cup \overline{A} = \Omega$.
Тогда $(A \cup \overline{A}) \cap (A \cup B) = \Omega \cap (A \cup B) = A \cup B$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение для суммы всех трех событий:
$(A \cup B) \cup (\overline{A \cup B})$.
Сумма любого события (в данном случае $A \cup B$) и его противоположного события $(\overline{A \cup B})$ всегда равна достоверному событию $\Omega$.
Следовательно, $A \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A \cup B}) = \Omega$.

Поскольку данные события попарно несовместны и их сумма является достоверным событием, они образуют полную группу.

Наглядное представление с помощью диаграммы Венна:

На диаграмме пространство элементарных исходов $\Omega$ (прямоугольник) разбито на три непересекающиеся области, которые соответствуют данным событиям:
- $C_1 = A$ (голубая область)
- $C_2 = \overline{A}B$ (розовая область, являющаяся частью B, не пересекающейся с A)
- $C_3 = \overline{A+B}$ (серая область, находящаяся вне объединения A и B)
Вместе эти три области полностью и без пересечений покрывают все пространство $\Omega$.

Ответ:
Доказано, что события $A$, $\overline{A}B$ и $\overline{A+B}$ попарно несовместны и их сумма равна достоверному событию, следовательно, они образуют полную группу событий.

5.18. Докажите справедливость равенства:

1) $\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$;

2) $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$.

1) Для доказательства равенства $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ мы воспользуемся методом полного перебора. В булевой алгебре переменные могут принимать только два значения: 0 (ложь) и 1 (истина). Мы должны показать, что левая и правая части равенства равны для всех четырёх возможных комбинаций значений $A$ и $B$.

Случай 1: $A = 0$, $B = 0$
Левая часть: $\overline{A + B} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$.
Правая часть: $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{0} \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$.
Значения совпадают: $1 = 1$.

Случай 2: $A = 0$, $B = 1$
Левая часть: $\overline{A + B} = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
Правая часть: $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{0} \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
Значения совпадают: $0 = 0$.

Случай 3: $A = 1$, $B = 0$
Левая часть: $\overline{A + B} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$.
Правая часть: $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.
Значения совпадают: $0 = 0$.

Случай 4: $A = 1$, $B = 1$
Левая часть: $\overline{A + B} = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$.
Правая часть: $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{1} \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$.
Значения совпадают: $0 = 0$.

Поскольку равенство выполняется для всех возможных комбинаций значений переменных $A$ и $B$, оно является тождеством (доказано).

Ответ: Равенство $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ доказано, так как оно истинно для всех возможных наборов значений $A$ и $B$.

2) Для доказательства равенства $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ мы также воспользуемся методом полного перебора, проверив все возможные комбинации значений $A$ и $B$.

Случай 1: $A = 0$, $B = 0$
Левая часть: $\overline{A \cdot B} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
Правая часть: $\overline{A} + \overline{B} = \overline{0} + \overline{0} = 1 + 1 = 1$.
Значения совпадают: $1 = 1$.

Случай 2: $A = 0$, $B = 1$
Левая часть: $\overline{A \cdot B} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
Правая часть: $\overline{A} + \overline{B} = \overline{0} + \overline{1} = 1 + 0 = 1$.
Значения совпадают: $1 = 1$.

Случай 3: $A = 1$, $B = 0$
Левая часть: $\overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
Правая часть: $\overline{A} + \overline{B} = \overline{1} + \overline{0} = 0 + 1 = 1$.
Значения совпадают: $1 = 1$.

Случай 4: $A = 1$, $B = 1$
Левая часть: $\overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
Правая часть: $\overline{A} + \overline{B} = \overline{1} + \overline{1} = 0 + 0 = 0$.
Значения совпадают: $0 = 0$.

Поскольку равенство выполняется для всех возможных комбинаций значений переменных $A$ и $B$, оно является тождеством (доказано).

Ответ: Равенство $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ доказано, так как оно истинно для всех возможных наборов значений $A$ и $B$.

5.19. Докажите, что для равенства событий $A$ и $B$ необходимо и достаточно выполнения условий $A \subset B$ и $B \subset A$.

Для доказательства данного утверждения, которое является аксиомой экстенсиональности в теории множеств, необходимо доказать два взаимно обратных утверждения: необходимость и достаточность. События в теории вероятностей рассматриваются как множества элементарных исходов, поэтому мы будем оперировать с ними как с множествами.

Доказательство необходимости

Докажем, что если события A и B равны ($A = B$), то из этого следует, что $A \subset B$ и $B \subset A$.

Пусть дано, что $A = B$. По определению, два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

1. Покажем, что $A \subset B$. Определение "A является подмножеством B" ($A \subset B$) гласит, что любой элемент множества A также является элементом множества B. Возьмем произвольный элементарный исход $\omega$ такой, что $\omega \in A$. Поскольку $A=B$, то по определению равенства множеств, каждый элемент из A должен быть и в B. Следовательно, $\omega \in B$. Так как это верно для любого произвольно выбранного элемента $\omega$ из A, мы заключаем, что $A \subset B$.

2. Покажем, что $B \subset A$. Аналогично, возьмем произвольный элементарный исход $\omega$ такой, что $\omega \in B$. Поскольку $A=B$, каждый элемент из B должен быть и в A. Следовательно, $\omega \in A$. Так как это верно для любого произвольно выбранного элемента $\omega$ из B, мы заключаем, что $B \subset A$.

Таким образом, мы показали, что из $A = B$ следует одновременное выполнение условий $A \subset B$ и $B \subset A$. Необходимость доказана.

Доказательство достаточности

Докажем, что если выполняются условия $A \subset B$ и $B \subset A$, то события A и B равны ($A = B$).

Пусть дано, что $A \subset B$ и $B \subset A$.

Из условия $A \subset B$ следует, что для любого элементарного исхода $\omega$, если $\omega \in A$, то $\omega \in B$.

Из условия $B \subset A$ следует, что для любого элементарного исхода $\omega$, если $\omega \in B$, то $\omega \in A$.

Объединив эти два утверждения, мы получаем, что элементарный исход $\omega$ принадлежит множеству A тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству B. В формальной записи: $\forall \omega (\omega \in A \iff \omega \in B)$.

Это утверждение является определением равенства двух множеств. Следовательно, $A = B$. Достаточность доказана.

Поскольку мы доказали и необходимость, и достаточность, мы доказали, что утверждение "$A = B$" эквивалентно утверждению "$A \subset B$ и $B \subset A$".

Ответ: Утверждение доказано. Для равенства событий $A$ и $B$ необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия включения $A \subset B$ (каждый исход из А принадлежит В) и $B \subset A$ (каждый исход из В принадлежит А).

5.20. Стрелок, имеющий 5 пуль, стреляет по мишени до первого попадания. Напишите пространство элементарных событий.

Пространство элементарных событий, обозначаемое $ \Omega $, представляет собой множество всех возможных и взаимоисключающих исходов случайного эксперимента. В данном случае эксперимент состоит в том, что стрелок, у которого есть 5 пуль, стреляет по мишени до тех пор, пока не попадет в нее.

Для описания элементарных событий введем следующие обозначения для исхода каждого отдельного выстрела:
П – попадание в мишень.
Н – промах (непопадание).

Эксперимент завершается либо после первого же попадания, либо когда у стрелка заканчиваются все 5 пуль. Рассмотрим все возможные варианты развития событий (элементарные события):
1. Стрелок попал с первого выстрела. Стрельба на этом прекращается. Элементарное событие: П.
2. Стрелок промахнулся первым выстрелом, но попал вторым. Стрельба прекращается. Элементарное событие: НП.
3. Стрелок промахнулся первыми двумя выстрелами, но попал третьим. Стрельба прекращается. Элементарное событие: ННП.
4. Стрелок промахнулся первыми тремя выстрелами, но попал четвертым. Стрельба прекращается. Элементарное событие: НННП.
5. Стрелок промахнулся первыми четырьмя выстрелами, но попал пятым (последней пулей). Стрельба прекращается. Элементарное событие: ННННП.
6. Стрелок сделал 5 выстрелов и все 5 раз промахнулся. Пули закончились, и стрельба прекращается. Элементарное событие: ННННН.

Других исходов быть не может, так как при любом попадании стрельба прекращается, а после пятого выстрела в любом случае заканчиваются пули.

Ответ: Пространство элементарных событий $ \Omega $ = {П, НП, ННП, НННП, ННННП, ННННН}.

5.21. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} 2x + y = 7, \\ xy = 6; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - xy = -3, \\ y^2 - xy = 12. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + y = 7, \\ xy = 6. \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 7 - 2x$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$x(7 - 2x) = 6$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x - 2x^2 = 6$

$2x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня, используя подстановку $y = 7 - 2x$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3$

Получаем первую пару решений $(2; 3)$.

При $x_2 = \frac{3}{2}$:

$y_2 = 7 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 7 - 3 = 4$

Получаем вторую пару решений $(\frac{3}{2}; 4)$.

Ответ: $(2; 3)$, $(\frac{3}{2}; 4)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy = -3, \\ y^2 - xy = 12. \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод сложения и вычитания уравнений. Вычтем первое уравнение из второго:

$(y^2 - xy) - (x^2 - xy) = 12 - (-3)$

$y^2 - x^2 = 15$

Теперь сложим оба уравнения системы:

$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = -3 + 12$

$x^2 - 2xy + y^2 = 9$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности $(x - y)^2$ или $(y-x)^2$:

$(y - x)^2 = 9$

Из этого уравнения следует, что $y - x = 3$ или $y - x = -3$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $y - x = 3$.

Мы также имеем уравнение $y^2 - x^2 = 15$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(y - x)(y + x) = 15$.

Подставим $y - x = 3$ в это уравнение:

$3(y + x) = 15$

$y + x = 5$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} y - x = 3, \\ y + x = 5. \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим: $2y = 8$, откуда $y = 4$. Подставив $y = 4$ в любое из уравнений, найдем $x$: $4 + x = 5$, откуда $x = 1$.

Первое решение: $(1; 4)$.

Случай 2: $y - x = -3$.

Аналогично первому случаю, подставим это значение в уравнение $(y - x)(y + x) = 15$:

$-3(y + x) = 15$

$y + x = -5$

Получаем новую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} y - x = -3, \\ y + x = -5. \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим: $2y = -8$, откуда $y = -4$. Подставив $y = -4$ в любое из уравнений, найдем $x$: $-4 + x = -5$, откуда $x = -1$.

Второе решение: $(-1; -4)$.

Проверим оба решения в исходной системе.

Для $(1; 4)$: $1^2 - 1 \cdot 4 = -3$ и $4^2 - 1 \cdot 4 = 16 - 4 = 12$. Верно.

Для $(-1; -4)$: $(-1)^2 - (-1)(-4) = 1 - 4 = -3$ и $(-4)^2 - (-1)(-4) = 16 - 4 = 12$. Верно.

Ответ: $(1; 4)$, $(-1; -4)$.

5.22. Упростите выражения:

1) $cos 2 \alpha + 2 sin (\alpha + 30^\circ) sin (\alpha - 30^\circ);$

2) $2cos^2 \frac{\varphi}{2} - cos\varphi.$

1) Упростим выражение $ \cos 2 \alpha + 2 \sin (\alpha + 30^\circ) \sin (\alpha - 30^\circ) $.
Для второго слагаемого применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $ 2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y) $.
В данном случае $ x = \alpha + 30^\circ $ и $ y = \alpha - 30^\circ $.
Найдем $ x - y $ и $ x + y $:
$ x - y = (\alpha + 30^\circ) - (\alpha - 30^\circ) = \alpha + 30^\circ - \alpha + 30^\circ = 60^\circ $.
$ x + y = (\alpha + 30^\circ) + (\alpha - 30^\circ) = 2\alpha $.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$ 2 \sin (\alpha + 30^\circ) \sin (\alpha - 30^\circ) = \cos(60^\circ) - \cos(2\alpha) $.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \cos 2 \alpha + (\cos(60^\circ) - \cos(2\alpha)) = \cos 2 \alpha - \cos 2 \alpha + \cos(60^\circ) = \cos(60^\circ) $.
Мы знаем, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

2) Упростим выражение $ 2\cos^2\frac{\varphi}{2} - \cos\varphi $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $.
Если принять $ x = \frac{\varphi}{2} $, то $ 2x = \varphi $.
Тогда формула для $ \cos\varphi $ будет выглядеть так: $ \cos\varphi = 2\cos^2\frac{\varphi}{2} - 1 $.
Теперь подставим это выражение для $ \cos\varphi $ в исходное выражение:
$ 2\cos^2\frac{\varphi}{2} - (2\cos^2\frac{\varphi}{2} - 1) = 2\cos^2\frac{\varphi}{2} - 2\cos^2\frac{\varphi}{2} + 1 = 1 $.
Ответ: $ 1 $

5.23. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на $5$ дают в остатке $1$.

Нам нужно найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Трехзначные натуральные числа — это числа от 100 до 999. Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 1, можно представить формулой $5k + 1$, где $k$ — целое число. Это значит, что последняя цифра таких чисел должна быть либо 1, либо 6.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдем первый и последний члены этой прогрессии, а также их количество.

1. Первый член прогрессии ($a_1$):Наименьшее трехзначное число — 100. При делении на 5 оно дает остаток 0. Следующее число, 101, при делении на 5 дает остаток 1 ($101 = 5 \cdot 20 + 1$). Следовательно, первый член нашей прогрессии $a_1 = 101$.

2. Последний член прогрессии ($a_n$):Наибольшее трехзначное число — 999. При делении на 5 оно дает остаток 4 ($999 = 5 \cdot 199 + 4$). Нам нужно найти наибольшее трехзначное число, оканчивающееся на 1 или 6. Это число 996. Проверим: $996 = 5 \cdot 199 + 1$. Следовательно, последний член нашей прогрессии $a_n = 996$.

3. Разность прогрессии ($d$):Каждое следующее число, дающее остаток 1 при делении на 5, больше предыдущего на 5 (например, 101, 106, 111, ...). Таким образом, разность прогрессии $d = 5$.

4. Количество членов прогрессии ($n$):Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставим известные значения:$996 = 101 + (n-1) \cdot 5$$996 - 101 = 5(n-1)$$895 = 5(n-1)$$n-1 = \frac{895}{5}$$n-1 = 179$$n = 180$Таким образом, всего существует 180 таких чисел.

5. Сумма прогрессии ($S_n$):Теперь найдем сумму этих 180 чисел по формуле суммы арифметической прогрессии:$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$Подставим наши значения:$S_{180} = \frac{101 + 996}{2} \cdot 180$$S_{180} = \frac{1097}{2} \cdot 180$$S_{180} = 1097 \cdot 90$$S_{180} = 98730$

Ответ: 98730