Номер 5.21, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} 2x + y = 7, \\ xy = 6; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - xy = -3, \\ y^2 - xy = 12. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + y = 7, \\ xy = 6. \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 7 - 2x$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$x(7 - 2x) = 6$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x - 2x^2 = 6$

$2x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня, используя подстановку $y = 7 - 2x$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3$

Получаем первую пару решений $(2; 3)$.

При $x_2 = \frac{3}{2}$:

$y_2 = 7 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 7 - 3 = 4$

Получаем вторую пару решений $(\frac{3}{2}; 4)$.

Ответ: $(2; 3)$, $(\frac{3}{2}; 4)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy = -3, \\ y^2 - xy = 12. \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод сложения и вычитания уравнений. Вычтем первое уравнение из второго:

$(y^2 - xy) - (x^2 - xy) = 12 - (-3)$

$y^2 - x^2 = 15$

Теперь сложим оба уравнения системы:

$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = -3 + 12$

$x^2 - 2xy + y^2 = 9$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности $(x - y)^2$ или $(y-x)^2$:

$(y - x)^2 = 9$

Из этого уравнения следует, что $y - x = 3$ или $y - x = -3$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $y - x = 3$.

Мы также имеем уравнение $y^2 - x^2 = 15$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(y - x)(y + x) = 15$.

Подставим $y - x = 3$ в это уравнение:

$3(y + x) = 15$

$y + x = 5$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} y - x = 3, \\ y + x = 5. \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим: $2y = 8$, откуда $y = 4$. Подставив $y = 4$ в любое из уравнений, найдем $x$: $4 + x = 5$, откуда $x = 1$.

Первое решение: $(1; 4)$.

Случай 2: $y - x = -3$.

Аналогично первому случаю, подставим это значение в уравнение $(y - x)(y + x) = 15$:

$-3(y + x) = 15$

$y + x = -5$

Получаем новую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} y - x = -3, \\ y + x = -5. \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим: $2y = -8$, откуда $y = -4$. Подставив $y = -4$ в любое из уравнений, найдем $x$: $-4 + x = -5$, откуда $x = -1$.

Второе решение: $(-1; -4)$.

Проверим оба решения в исходной системе.

Для $(1; 4)$: $1^2 - 1 \cdot 4 = -3$ и $4^2 - 1 \cdot 4 = 16 - 4 = 12$. Верно.

Для $(-1; -4)$: $(-1)^2 - (-1)(-4) = 1 - 4 = -3$ и $(-4)^2 - (-1)(-4) = 16 - 4 = 12$. Верно.

Ответ: $(1; 4)$, $(-1; -4)$.