Номер 5.17, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. Докажите, что события $A$, $\overline{A}B$, $\overline{A+B}$ образуют полную группу.

Чтобы доказать, что события $C_1=A$, $C_2=\overline{A}B$ и $C_3=\overline{A+B}$ образуют полную группу, необходимо показать, что они удовлетворяют двум условиям:

1. События попарно несовместны, то есть произведение (пересечение) любых двух из них является невозможным событием ($\emptyset$).

2. Сумма (объединение) этих событий является достоверным событием ($\Omega$), то есть в результате испытания обязательно произойдет одно из этих событий.

В алгебре событий произведение обозначается как $XY$, сумма как $X+Y$, а противоположное событие как $\overline{X}$. В теории множеств это соответствует пересечению ($\cap$), объединению ($\cup$) и дополнению.

1. Доказательство попарной несовместности

Проверим, что пересечение любых двух событий из данной группы пусто.

- Несовместность $A$ и $\overline{A}B$:
Произведение событий $A \cdot (\overline{A}B)$ соответствует пересечению множеств $A \cap (\overline{A} \cap B)$.
Используя свойство ассоциативности пересечения, получаем: $(A \cap \overline{A}) \cap B$.
По определению, пересечение события $A$ и его дополнения $\overline{A}$ является невозможным событием: $A \cap \overline{A} = \emptyset$.
Следовательно, $(A \cap \overline{A}) \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset$.
События $A$ и $\overline{A}B$ несовместны.

- Несовместность $A$ и $\overline{A+B}$:
Произведение событий $A \cdot (\overline{A+B})$ соответствует пересечению $A \cap (\overline{A \cup B})$.
Событие $A$ является подмножеством события $A \cup B$ (т.е. $A \subset (A \cup B)$). Это означает, что если наступает событие $A$, то наступает и событие $A \cup B$. Следовательно, событие $A$ не может произойти одновременно с событием, противоположным $A \cup B$.
Математически, пересечение множества с дополнением его надмножества всегда пусто. Таким образом, $A \cap (\overline{A \cup B}) = \emptyset$.
События $A$ и $\overline{A+B}$ несовместны.

- Несовместность $\overline{A}B$ и $\overline{A+B}$:
Произведение событий $(\overline{A}B) \cdot (\overline{A+B})$ соответствует пересечению $(\overline{A} \cap B) \cap (\overline{A \cup B})$.
Применим один из законов де Моргана: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$.
Подставим это в выражение: $(\overline{A} \cap B) \cap (\overline{A} \cap \overline{B})$.
Используя свойства ассоциативности и коммутативности, перегруппируем члены: $(\overline{A} \cap \overline{A}) \cap (B \cap \overline{B})$.
Так как $\overline{A} \cap \overline{A} = \overline{A}$ и $B \cap \overline{B} = \emptyset$, получаем: $\overline{A} \cap \emptyset = \emptyset$.
События $\overline{A}B$ и $\overline{A+B}$ несовместны.

Таким образом, все три события попарно несовместны.

2. Доказательство полноты группы

Найдем сумму (объединение) данных событий: $A + \overline{A}B + \overline{A+B} = A \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A \cup B})$.
Сначала рассмотрим сумму первых двух слагаемых: $A \cup (\overline{A} \cap B)$. Согласно свойству поглощения (или используя дистрибутивный закон):
$A \cup (\overline{A} \cap B) = (A \cup \overline{A}) \cap (A \cup B)$.
Объединение события и его дополнения есть достоверное событие: $A \cup \overline{A} = \Omega$.
Тогда $(A \cup \overline{A}) \cap (A \cup B) = \Omega \cap (A \cup B) = A \cup B$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение для суммы всех трех событий:
$(A \cup B) \cup (\overline{A \cup B})$.
Сумма любого события (в данном случае $A \cup B$) и его противоположного события $(\overline{A \cup B})$ всегда равна достоверному событию $\Omega$.
Следовательно, $A \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A \cup B}) = \Omega$.

Поскольку данные события попарно несовместны и их сумма является достоверным событием, они образуют полную группу.

Наглядное представление с помощью диаграммы Венна:

На диаграмме пространство элементарных исходов $\Omega$ (прямоугольник) разбито на три непересекающиеся области, которые соответствуют данным событиям:
- $C_1 = A$ (голубая область)
- $C_2 = \overline{A}B$ (розовая область, являющаяся частью B, не пересекающейся с A)
- $C_3 = \overline{A+B}$ (серая область, находящаяся вне объединения A и B)
Вместе эти три области полностью и без пересечений покрывают все пространство $\Omega$.

Ответ:
Доказано, что события $A$, $\overline{A}B$ и $\overline{A+B}$ попарно несовместны и их сумма равна достоверному событию, следовательно, они образуют полную группу событий.