Номер 5.18, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.18. Докажите справедливость равенства:

1) $\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$;

2) $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$.

1) Для доказательства равенства $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ мы воспользуемся методом полного перебора. В булевой алгебре переменные могут принимать только два значения: 0 (ложь) и 1 (истина). Мы должны показать, что левая и правая части равенства равны для всех четырёх возможных комбинаций значений $A$ и $B$.

Случай 1: $A = 0$, $B = 0$
Левая часть: $\overline{A + B} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$.
Правая часть: $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{0} \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$.
Значения совпадают: $1 = 1$.

Случай 2: $A = 0$, $B = 1$
Левая часть: $\overline{A + B} = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
Правая часть: $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{0} \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
Значения совпадают: $0 = 0$.

Случай 3: $A = 1$, $B = 0$
Левая часть: $\overline{A + B} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$.
Правая часть: $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.
Значения совпадают: $0 = 0$.

Случай 4: $A = 1$, $B = 1$
Левая часть: $\overline{A + B} = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$.
Правая часть: $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{1} \cdot \overline{1} = 0 \cdot 0 = 0$.
Значения совпадают: $0 = 0$.

Поскольку равенство выполняется для всех возможных комбинаций значений переменных $A$ и $B$, оно является тождеством (доказано).

Ответ: Равенство $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ доказано, так как оно истинно для всех возможных наборов значений $A$ и $B$.

2) Для доказательства равенства $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ мы также воспользуемся методом полного перебора, проверив все возможные комбинации значений $A$ и $B$.

Случай 1: $A = 0$, $B = 0$
Левая часть: $\overline{A \cdot B} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
Правая часть: $\overline{A} + \overline{B} = \overline{0} + \overline{0} = 1 + 1 = 1$.
Значения совпадают: $1 = 1$.

Случай 2: $A = 0$, $B = 1$
Левая часть: $\overline{A \cdot B} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
Правая часть: $\overline{A} + \overline{B} = \overline{0} + \overline{1} = 1 + 0 = 1$.
Значения совпадают: $1 = 1$.

Случай 3: $A = 1$, $B = 0$
Левая часть: $\overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
Правая часть: $\overline{A} + \overline{B} = \overline{1} + \overline{0} = 0 + 1 = 1$.
Значения совпадают: $1 = 1$.

Случай 4: $A = 1$, $B = 1$
Левая часть: $\overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
Правая часть: $\overline{A} + \overline{B} = \overline{1} + \overline{1} = 0 + 0 = 0$.
Значения совпадают: $0 = 0$.

Поскольку равенство выполняется для всех возможных комбинаций значений переменных $A$ и $B$, оно является тождеством (доказано).

Ответ: Равенство $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ доказано, так как оно истинно для всех возможных наборов значений $A$ и $B$.