Номер 5.16, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. Для произвольных событий A, B и C разложите сумму:

1) A + B

Чтобы разложить сумму событий $A + B$ на сумму попарно несовместных событий, мы можем представить её как объединение двух непересекающихся множеств.

Первое событие — это событие $A$.

Второе событие — это часть события $B$, которая не пересекается с $A$. Это означает, что событие $B$ происходит, а событие $A$ не происходит. Такое событие записывается как произведение $B$ и события, противоположного $A$, то есть $\overline{A}B$.

Таким образом, мы представляем сумму $A + B$ в виде суммы двух событий: $A$ и $\overline{A}B$.

$A + B = A + \overline{A}B$

Проверим, являются ли эти события ($A$ и $\overline{A}B$) несовместными. Для этого найдем их произведение (пересечение). Два события несовместны, если их произведение является невозможным событием ($\emptyset$).

$A \cdot (\overline{A}B) = (A\overline{A})B = \emptyset \cdot B = \emptyset$

Поскольку произведение равно невозможному событию, события $A$ и $\overline{A}B$ попарно несовместны.

Их сумма $A + \overline{A}B$ соответствует событию "произошло $A$" или "не произошло $A$ и произошло $B$", что равносильно событию "произошло $A$ или произошло $B$", то есть $A+B$.

На диаграмме Венна это можно представить следующим образом:

Здесь синяя область соответствует событию $A$, а зелёная — событию $\overline{A}B$. Вместе они составляют $A+B$.

Ответ: $A + B = A + \overline{A}B$.

2) A + B + C

Используем тот же подход, что и в первом пункте, последовательно добавляя события.

1. Начинаем с события $A$.

2. Добавляем часть события $B$, которая ещё не была учтена, то есть ту, где $A$ не происходит. Это событие $\overline{A}B$.

3. Добавляем часть события $C$, которая ещё не была учтена, то есть ту, где не происходит ни $A$, ни $B$. Событие "не $A$ и не $B$" записывается как $\overline{A}\overline{B}$ (или, что то же самое, $\overline{A+B}$). Таким образом, третье несовместное событие будет $\overline{A}\overline{B}C$.

В итоге получаем разложение:

$A + B + C = A + \overline{A}B + \overline{A}\overline{B}C$

Проверим попарную несовместность полученных слагаемых:

$A \cdot (\overline{A}B) = (A\overline{A})B = \emptyset$

$A \cdot (\overline{A}\overline{B}C) = (A\overline{A})\overline{B}C = \emptyset$

$(\overline{A}B) \cdot (\overline{A}\overline{B}C) = \overline{A}\overline{A}B\overline{B}C = \overline{A}(B\overline{B})C = \emptyset$

Все три события, $A$, $\overline{A}B$ и $\overline{A}\overline{B}C$, попарно несовместны.

Сумма этих событий $A + \overline{A}B + \overline{A}\overline{B}C$ представляет собой событие "произошло $A$" или "не произошло $A$ и произошло $B$" или "не произошло ни $A$, ни $B$, но произошло $C$". Это в точности соответствует событию "произошло хотя бы одно из событий $A, B, C$", то есть $A+B+C$.

Визуализация на диаграмме Венна:

Здесь синяя область — это $A$, зелёная — $\overline{A}B$, а красная — $\overline{A}\overline{B}C$. Вместе они составляют $A+B+C$.

Ответ: $A + B + C = A + \overline{A}B + \overline{A}\overline{B}C$.