Номер 5.23, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.23. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на $5$ дают в остатке $1$.

Нам нужно найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Трехзначные натуральные числа — это числа от 100 до 999. Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 1, можно представить формулой $5k + 1$, где $k$ — целое число. Это значит, что последняя цифра таких чисел должна быть либо 1, либо 6.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдем первый и последний члены этой прогрессии, а также их количество.

1. Первый член прогрессии ($a_1$):Наименьшее трехзначное число — 100. При делении на 5 оно дает остаток 0. Следующее число, 101, при делении на 5 дает остаток 1 ($101 = 5 \cdot 20 + 1$). Следовательно, первый член нашей прогрессии $a_1 = 101$.

2. Последний член прогрессии ($a_n$):Наибольшее трехзначное число — 999. При делении на 5 оно дает остаток 4 ($999 = 5 \cdot 199 + 4$). Нам нужно найти наибольшее трехзначное число, оканчивающееся на 1 или 6. Это число 996. Проверим: $996 = 5 \cdot 199 + 1$. Следовательно, последний член нашей прогрессии $a_n = 996$.

3. Разность прогрессии ($d$):Каждое следующее число, дающее остаток 1 при делении на 5, больше предыдущего на 5 (например, 101, 106, 111, ...). Таким образом, разность прогрессии $d = 5$.

4. Количество членов прогрессии ($n$):Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставим известные значения:$996 = 101 + (n-1) \cdot 5$$996 - 101 = 5(n-1)$$895 = 5(n-1)$$n-1 = \frac{895}{5}$$n-1 = 179$$n = 180$Таким образом, всего существует 180 таких чисел.

5. Сумма прогрессии ($S_n$):Теперь найдем сумму этих 180 чисел по формуле суммы арифметической прогрессии:$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$Подставим наши значения:$S_{180} = \frac{101 + 996}{2} \cdot 180$$S_{180} = \frac{1097}{2} \cdot 180$$S_{180} = 1097 \cdot 90$$S_{180} = 98730$

Ответ: 98730