Номер 5.22, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.22. Упростите выражения:

1) $cos 2 \alpha + 2 sin (\alpha + 30^\circ) sin (\alpha - 30^\circ);$

2) $2cos^2 \frac{\varphi}{2} - cos\varphi.$

1) Упростим выражение $ \cos 2 \alpha + 2 \sin (\alpha + 30^\circ) \sin (\alpha - 30^\circ) $.
Для второго слагаемого применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $ 2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y) $.
В данном случае $ x = \alpha + 30^\circ $ и $ y = \alpha - 30^\circ $.
Найдем $ x - y $ и $ x + y $:
$ x - y = (\alpha + 30^\circ) - (\alpha - 30^\circ) = \alpha + 30^\circ - \alpha + 30^\circ = 60^\circ $.
$ x + y = (\alpha + 30^\circ) + (\alpha - 30^\circ) = 2\alpha $.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$ 2 \sin (\alpha + 30^\circ) \sin (\alpha - 30^\circ) = \cos(60^\circ) - \cos(2\alpha) $.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \cos 2 \alpha + (\cos(60^\circ) - \cos(2\alpha)) = \cos 2 \alpha - \cos 2 \alpha + \cos(60^\circ) = \cos(60^\circ) $.
Мы знаем, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

2) Упростим выражение $ 2\cos^2\frac{\varphi}{2} - \cos\varphi $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $.
Если принять $ x = \frac{\varphi}{2} $, то $ 2x = \varphi $.
Тогда формула для $ \cos\varphi $ будет выглядеть так: $ \cos\varphi = 2\cos^2\frac{\varphi}{2} - 1 $.
Теперь подставим это выражение для $ \cos\varphi $ в исходное выражение:
$ 2\cos^2\frac{\varphi}{2} - (2\cos^2\frac{\varphi}{2} - 1) = 2\cos^2\frac{\varphi}{2} - 2\cos^2\frac{\varphi}{2} + 1 = 1 $.
Ответ: $ 1 $