Номер 5.15, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Три стрелка произвели по одному выстрелу по мишени.
Пусть $A$ – событие «первый стрелок попал в мишень»,
$B$ – событие «второй стрелок попал в мишень», $C$ – событие «третий стрелок поразил мишень». Известно, что первые два стрелка поразили мишень, а третий – промахнулся. Определите, наступило или не наступило событие:

1) $A + B \cdot \bar{C}$

2) $(A + B)\bar{C}$

3) $\bar{A}B + C$

4) $ABC$

5) $AB\bar{C}$

По условию задачи, первые два стрелка поразили мишень, а третий промахнулся. В терминах алгебры событий это означает, что событие $A$ («первый стрелок попал») наступило, событие $B$ («второй стрелок попал») наступило, а событие $C$ («третий стрелок попал») не наступило. Следовательно, противоположное событие $\bar{C}$ («третий стрелок промахнулся») наступило. Проверим каждое из предложенных сложных событий.

1) $A + B \cdot \bar{C}$ Это сложное событие представляет собой сумму двух событий: $A$ и $B \cdot \bar{C}$. Сумма событий наступает, если наступает хотя бы одно из слагаемых. Событие $A$ («первый стрелок попал») по условию наступило. Следовательно, всё событие $A + B \cdot \bar{C}$ наступило, независимо от того, наступило ли событие $B \cdot \bar{C}$. Ответ: наступило.

2) $(A + B)\bar{C}$ Это сложное событие представляет собой произведение двух событий: $(A + B)$ и $\bar{C}$. Произведение событий наступает только в том случае, если наступают все сомножители. Рассмотрим каждый сомножитель. Событие $(A + B)$ означает «попал первый или второй стрелок». Так как оба попали, это событие наступило. Событие $\bar{C}$ означает «третий стрелок промахнулся». По условию это событие также наступило. Поскольку оба сомножителя наступили, их произведение $(A + B)\bar{C}$ также наступило. Ответ: наступило.

3) $\bar{A}B + C$ Это сложное событие представляет собой сумму двух событий: $\bar{A}B$ и $C$. Сумма наступает, если наступает хотя бы одно из слагаемых. Событие $\bar{A}B$ означает «первый промахнулся и второй попал». Так как первый стрелок попал, событие $\bar{A}$ не наступило, а значит, и произведение $\bar{A}B$ не наступило. Событие $C$ («третий попал») по условию не наступило. Поскольку ни одно из слагаемых событий не наступило, их сумма $\bar{A}B + C$ не наступила. Ответ: не наступило.

4) $ABC$ Это событие является произведением событий $A$, $B$ и $C$ и означает, что «все три стрелка попали в мишень». По условию, третий стрелок промахнулся, то есть событие $C$ не наступило. Следовательно, произведение $ABC$ не могло наступить. Ответ: не наступило.

5) $AB\bar{C}$ Это событие является произведением событий $A$, $B$ и $\bar{C}$. Оно означает, что «первый попал, и второй попал, и третий промахнулся». По условию, событие $A$ наступило, событие $B$ наступило, и событие $\bar{C}$ (промах третьего) также наступило. Так как все три события-сомножителя наступили, их произведение $AB\bar{C}$ также наступило. Это событие в точности описывает исход стрельбы. Ответ: наступило.