Номер 5.11, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.11. Даны случайные события A, B и C. Каков смысл равенства:

1) $ABC=A$;

2) $A+B+C=A$?

Для решения этой задачи воспользуемся аналогией между операциями над событиями и операциями над множествами. Пусть $A, B, C$ — это множества элементарных исходов, соответствующих данным событиям.

• Произведение событий $ABC$ соответствует пересечению множеств $A \cap B \cap C$. Событие $ABC$ наступает, когда наступают все три события $A$, $B$ и $C$ одновременно.
• Сумма событий $A+B+C$ соответствует объединению множеств $A \cup B \cup C$. Событие $A+B+C$ наступает, когда наступает хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$.

1) ABC=A;

Равенство $ABC=A$ в терминах теории множеств записывается как $A \cap B \cap C = A$.

Пересечение нескольких множеств всегда является подмножеством каждого из этих множеств. В частности, $A \cap B \cap C \subseteq A$. Для того чтобы выполнялось равенство $A \cap B \cap C = A$, необходимо, чтобы и множество $A$ было подмножеством пересечения $A \cap B \cap C$, то есть $A \subseteq A \cap B \cap C$.

Это означает, что любой элементарный исход, принадлежащий множеству $A$, должен также принадлежать и множеству $A \cap B \cap C$. А для того чтобы исход принадлежал пересечению $A \cap B \cap C$, он должен принадлежать каждому из множеств $A$, $B$ и $C$.

Таким образом, из того, что исход принадлежит $A$, следует, что он принадлежит и $B$, и $C$. В терминах событий это означает, что наступление события $A$ с необходимостью влечет за собой наступление событий $B$ и $C$. Математически это записывается как $A \subseteq B$ и $A \subseteq C$.

Это можно проиллюстрировать с помощью диаграммы Венна, где область, соответствующая событию $A$, полностью находится внутри пересечения областей $B$ и $C$.

Ответ: Равенство $ABC=A$ означает, что из наступления события $A$ следует наступление событий $B$ и $C$.

2) A+B+C=A?

Равенство $A+B+C=A$ в терминах теории множеств записывается как $A \cup B \cup C = A$.

Любое множество является подмножеством объединения этого множества с другими. В частности, $A \subseteq A \cup B \cup C$. Для того чтобы выполнялось равенство $A \cup B \cup C = A$, необходимо, чтобы и объединение $A \cup B \cup C$ было подмножеством $A$, то есть $A \cup B \cup C \subseteq A$.

Это означает, что любой элементарный исход, принадлежащий объединению $A \cup B \cup C$, должен также принадлежать и множеству $A$. Объединению $A \cup B \cup C$ принадлежат все исходы из $A$, все исходы из $B$ и все исходы из $C$.

Отсюда следует, что множество $B$ должно быть подмножеством $A$ ($B \subseteq A$), и множество $C$ также должно быть подмножеством $A$ ($C \subseteq A$). В терминах событий это означает, что наступление события $B$ влечет за собой наступление события $A$, и наступление события $C$ также влечет за собой наступление события $A$.

Это можно проиллюстрировать с помощью диаграммы Венна, где области, соответствующие событиям $B$ и $C$, полностью находятся внутри области $A$.

Ответ: Равенство $A+B+C=A$ означает, что наступление любого из событий $B$ или $C$ влечет за собой наступление события $A$.