Номер 5.5, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.5. События $A=\{A_2\}$, $B=\{A_1, A_3\}$, $C=\{A_1, A_2, A_3\}$, $D=\{A_1, A_3, A_5\}$ определены в пространстве элементарных событий $U=\{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$. Следствием какого из данных событий $A, B, C, D$ является событие:

1) $C$;

2) $D$;

3) $\overline{A}$?

Событие $Y$ является следствием события $X$, если наступление события $X$ влечет за собой наступление события $Y$. В терминах теории множеств это означает, что множество элементарных исходов, составляющих событие $X$, является подмножеством множества элементарных исходов, составляющих событие $Y$, то есть $X \subseteq Y$.

Даны события:

$A = \{A_2\}$

$B = \{A_1, A_3\}$

$C = \{A_1, A_2, A_3\}$

$D = \{A_1, A_3, A_5\}$

Пространство элементарных событий $U = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$.

1) C

Событие $C = \{A_1, A_2, A_3\}$. Требуется найти, для каких из данных событий $X \in \{A, B, C, D\}$ выполняется условие $X \subseteq C$.

• Проверяем $A = \{A_2\}$: каждый элемент из $A$ содержится в $C$, поэтому $A \subseteq C$.

• Проверяем $B = \{A_1, A_3\}$: каждый элемент из $B$ содержится в $C$, поэтому $B \subseteq C$.

• Проверяем $C = \{A_1, A_2, A_3\}$: любое множество является подмножеством самого себя, поэтому $C \subseteq C$.

• Проверяем $D = \{A_1, A_3, A_5\}$: элемент $A_5$ принадлежит $D$, но не принадлежит $C$, поэтому $D \not\subseteq C$.

Следовательно, событие $C$ является следствием событий $A, B$ и $C$.

Ответ: $A, B, C$.

2) D

Событие $D = \{A_1, A_3, A_5\}$. Требуется найти, для каких из данных событий $X \in \{A, B, C, D\}$ выполняется условие $X \subseteq D$.

• Проверяем $A = \{A_2\}$: элемент $A_2$ принадлежит $A$, но не принадлежит $D$, поэтому $A \not\subseteq D$.

• Проверяем $B = \{A_1, A_3\}$: каждый элемент из $B$ содержится в $D$, поэтому $B \subseteq D$.

• Проверяем $C = \{A_1, A_2, A_3\}$: элемент $A_2$ принадлежит $C$, но не принадлежит $D$, поэтому $C \not\subseteq D$.

• Проверяем $D = \{A_1, A_3, A_5\}$: любое множество является подмножеством самого себя, поэтому $D \subseteq D$.

Следовательно, событие $D$ является следствием событий $B$ и $D$.

Ответ: $B, D$.

3) $\bar{A}$

Сначала найдем событие $\bar{A}$, противоположное событию $A = \{A_2\}$. Оно содержит все элементарные исходы из $U$, не входящие в $A$.

$\bar{A} = U \setminus A = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_2\} = \{A_1, A_3, A_4, A_5\}$.

Теперь требуется найти, для каких из данных событий $X \in \{A, B, C, D\}$ выполняется условие $X \subseteq \bar{A}$.

• Проверяем $A = \{A_2\}$: элемент $A_2$ принадлежит $A$, но не принадлежит $\bar{A}$, поэтому $A \not\subseteq \bar{A}$.

• Проверяем $B = \{A_1, A_3\}$: каждый элемент из $B$ содержится в $\bar{A}$, поэтому $B \subseteq \bar{A}$.

• Проверяем $C = \{A_1, A_2, A_3\}$: элемент $A_2$ принадлежит $C$, но не принадлежит $\bar{A}$, поэтому $C \not\subseteq \bar{A}$.

• Проверяем $D = \{A_1, A_3, A_5\}$: каждый элемент из $D$ содержится в $\bar{A}$, поэтому $D \subseteq \bar{A}$.

Следовательно, событие $\bar{A}$ является следствием событий $B$ и $D$.

Ответ: $B, D$.