Страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.3. Используя условие предыдущей задачи, укажите все элементарные события, входящие в состав события:

1) $A+B$;

2) $B+C$;

3) $A+D$;

4) $A \cdot \overline{B}$;

5) $B \cdot \overline{C}$;

6) $A \cdot \overline{D}$;

7) $A-B$;

8) $B-C$;

9) $A-D$;

10) $D-A$;

11) $(\overline{A}+C)-\overline{D}$;

12) $\overline{C} \cdot D-A$.

Поскольку условие предыдущей задачи не предоставлено, для решения данной задачи необходимо сделать предположение о пространстве элементарных событий и самих событиях A, B, C и D. Будем исходить из классической постановки задачи для теории вероятностей.

Пусть проводится опыт, состоящий в однократном бросании стандартной шестигранной игральной кости. Пространство элементарных событий $\Omega$ (все возможные исходы) в этом случае будет:$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Определим события A, B, C и D как следующие подмножества $\Omega$:

• Событие A: {выпало число очков не менее 3}, то есть $A = \{3, 4, 5, 6\}$.
• Событие B: {выпало число очков менее 5}, то есть $B = \{1, 2, 3, 4\}$.
• Событие C: {выпало четное число очков}, то есть $C = \{2, 4, 6\}$.
• Событие D: {выпало нечетное число очков}, то есть $D = \{1, 3, 5\}$.

В алгебре событий приняты следующие обозначения операций:

• Сумма событий ($A+B$) — это объединение множеств ($A \cup B$), событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий A или B.
• Произведение событий ($A \cdot B$) — это пересечение множеств ($A \cap B$), событие, состоящее в том, что произойдут оба события A и B.
• Разность событий ($A-B$) — это разность множеств ($A \setminus B$), событие, состоящее в том, что событие A произойдет, а событие B не произойдет. Эквивалентно $A \cap \bar{B}$.
• Противоположное событие ($\bar{A}$) — это дополнение множества до $\Omega$ ($\Omega \setminus A$), событие, состоящее в том, что событие A не произойдет.

Исходя из этих определений, найдем элементарные события для каждого из указанных составных событий.

1) A+B; Сумма событий A и B соответствует объединению множеств $A \cup B$.
$A+B = A \cup B = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Ответ: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2) B+C; Сумма событий B и C соответствует объединению множеств $B \cup C$.
$B+C = B \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$.
Ответ: {1, 2, 3, 4, 6}.

3) A+D; Сумма событий A и D соответствует объединению множеств $A \cup D$.
$A+D = A \cup D = \{3, 4, 5, 6\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 4, 5, 6\}$.
Ответ: {1, 3, 4, 5, 6}.

4) A·B; Произведение событий A и B соответствует пересечению множеств $A \cap B$.
$A \cdot B = A \cap B = \{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{3, 4\}$.
Ответ: {3, 4}.

5) B·C; Произведение событий B и C соответствует пересечению множеств $B \cap C$.
$B \cdot C = B \cap C = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2, 4\}$.
Ответ: {2, 4}.

6) A·D; Произведение событий A и D соответствует пересечению множеств $A \cap D$.
$A \cdot D = A \cap D = \{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\}$.
Ответ: {3, 5}.

7) A−B; Разность событий A и B соответствует разности множеств $A \setminus B$.
$A-B = A \setminus B = \{3, 4, 5, 6\} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \{5, 6\}$.
Ответ: {5, 6}.

8) B−C; Разность событий B и C соответствует разности множеств $B \setminus C$.
$B-C = B \setminus C = \{1, 2, 3, 4\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3\}$.
Ответ: {1, 3}.

9) A−D; Разность событий A и D соответствует разности множеств $A \setminus D$.
$A-D = A \setminus D = \{3, 4, 5, 6\} \setminus \{1, 3, 5\} = \{4, 6\}$.
Ответ: {4, 6}.

10) D−A; Разность событий D и A соответствует разности множеств $D \setminus A$.
$D-A = D \setminus A = \{1, 3, 5\} \setminus \{3, 4, 5, 6\} = \{1\}$.
Ответ: {1}.

11) $\overline{(A+C)}-\overline{D}$; Судя по изображению, имеется в виду $\overline{(\overline{A}+C)}-\overline{D}$. Это можно записать в терминах операций над множествами как $\overline{(\bar{A} \cup C)} \setminus \bar{D}$.
Сначала найдем множества для противоположных событий:$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2\}$.$\bar{D} = \Omega \setminus D = \{2, 4, 6\}$. (Заметим, что $\bar{D}=C$).
Теперь вычислим выражение по шагам:1. $\bar{A} \cup C = \{1, 2\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 4, 6\}$.2. $\overline{(\bar{A} \cup C)} = \Omega \setminus \{1, 2, 4, 6\} = \{3, 5\}$.3. $\overline{(\bar{A} \cup C)} \setminus \bar{D} = \{3, 5\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{3, 5\}$.
Альтернативно, по законам де Моргана: $\overline{(\bar{A} \cup C)} \setminus \bar{D} = (A \cap \bar{C}) \cap D = (\{3, 4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\}) \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{3, 5\}$.
Ответ: {3, 5}.

12) $\overline{C}\cdot D-\overline{A}$; Данное выражение соответствует $(\bar{C} \cap D) \setminus \bar{A}$.
Найдем множества для противоположных событий:$\bar{C} = \Omega \setminus C = \{1, 3, 5\}$. (Заметим, что $\bar{C}=D$).$\bar{A} = \Omega \setminus A = \{1, 2\}$.
Вычислим выражение по шагам:1. $\bar{C} \cap D = \{1, 3, 5\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1, 3, 5\}$.2. $(\bar{C} \cap D) \setminus \bar{A} = \{1, 3, 5\} \setminus \{1, 2\} = \{3, 5\}$.
Ответ: {3, 5}.

5.4. При однократном бросании игральной кости событие A является:

1) событием «выпала шестерка»;

2) событием «выпало нечетное число очков»;

3) событием «выпало число очков, не меньшее, чем 3»;

4) событием «выпало число очков, более, чем 2, и менее, чем 6».

Каков смысл события $ \overline{A} $?

Противоположное событие $\bar{A}$ (читается как «не А») происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$. Для нахождения смысла события $\bar{A}$ нужно определить, какие исходы не входят в событие $A$. При бросании игральной кости возможны исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1) Событие $A$ — «выпала шестерка». Этому событию соответствует один исход: выпадение 6 очков. Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что шестерка не выпала. Это соответствует исходам, когда выпало 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Смысл события $\bar{A}$ можно описать как «выпало число очков, меньшее 6».Ответ: «выпало число очков, меньшее 6».

2) Событие $A$ — «выпало нечетное число очков». Этому событию соответствуют исходы 1, 3, 5. Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что выпало не нечетное число очков, то есть «выпало четное число очков». Этому соответствуют исходы 2, 4, 6.Ответ: «выпало четное число очков».

3) Событие $A$ — «выпало число очков, не меньшее, чем 3». Это означает, что выпавшее число очков $x$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Этому событию соответствуют исходы 3, 4, 5, 6. Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что условие $x \ge 3$ не выполнено, то есть выполнено условие $x < 3$. Этому соответствуют исходы 1, 2. Таким образом, смысл события $\bar{A}$ — «выпало число очков, меньшее 3».Ответ: «выпало число очков, меньшее 3».

4) Событие $A$ — «выпало число очков, более, чем 2, и менее, чем 6». Это означает, что выпавшее число очков $x$ удовлетворяет строгому двойному неравенству $2 < x < 6$. Этому событию соответствуют исходы 3, 4, 5. Противоположное событие $\bar{A}$ означает, что это условие не выполнено. Это происходит, если выпавшее число очков $x$ либо не больше 2 ($x \le 2$), либо не меньше 6 ($x \ge 6$). Учитывая возможные исходы на игральной кости, этому событию соответствуют исходы 1, 2, 6.Ответ: «выпало число очков, не большее 2, или выпало 6 очков».

5.5. События $A=\{A_2\}$, $B=\{A_1, A_3\}$, $C=\{A_1, A_2, A_3\}$, $D=\{A_1, A_3, A_5\}$ определены в пространстве элементарных событий $U=\{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$. Следствием какого из данных событий $A, B, C, D$ является событие:

1) $C$;

2) $D$;

3) $\overline{A}$?

Событие $Y$ является следствием события $X$, если наступление события $X$ влечет за собой наступление события $Y$. В терминах теории множеств это означает, что множество элементарных исходов, составляющих событие $X$, является подмножеством множества элементарных исходов, составляющих событие $Y$, то есть $X \subseteq Y$.

Даны события:

$A = \{A_2\}$

$B = \{A_1, A_3\}$

$C = \{A_1, A_2, A_3\}$

$D = \{A_1, A_3, A_5\}$

Пространство элементарных событий $U = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$.

1) C

Событие $C = \{A_1, A_2, A_3\}$. Требуется найти, для каких из данных событий $X \in \{A, B, C, D\}$ выполняется условие $X \subseteq C$.

• Проверяем $A = \{A_2\}$: каждый элемент из $A$ содержится в $C$, поэтому $A \subseteq C$.

• Проверяем $B = \{A_1, A_3\}$: каждый элемент из $B$ содержится в $C$, поэтому $B \subseteq C$.

• Проверяем $C = \{A_1, A_2, A_3\}$: любое множество является подмножеством самого себя, поэтому $C \subseteq C$.

• Проверяем $D = \{A_1, A_3, A_5\}$: элемент $A_5$ принадлежит $D$, но не принадлежит $C$, поэтому $D \not\subseteq C$.

Следовательно, событие $C$ является следствием событий $A, B$ и $C$.

Ответ: $A, B, C$.

2) D

Событие $D = \{A_1, A_3, A_5\}$. Требуется найти, для каких из данных событий $X \in \{A, B, C, D\}$ выполняется условие $X \subseteq D$.

• Проверяем $A = \{A_2\}$: элемент $A_2$ принадлежит $A$, но не принадлежит $D$, поэтому $A \not\subseteq D$.

• Проверяем $B = \{A_1, A_3\}$: каждый элемент из $B$ содержится в $D$, поэтому $B \subseteq D$.

• Проверяем $C = \{A_1, A_2, A_3\}$: элемент $A_2$ принадлежит $C$, но не принадлежит $D$, поэтому $C \not\subseteq D$.

• Проверяем $D = \{A_1, A_3, A_5\}$: любое множество является подмножеством самого себя, поэтому $D \subseteq D$.

Следовательно, событие $D$ является следствием событий $B$ и $D$.

Ответ: $B, D$.

3) $\bar{A}$

Сначала найдем событие $\bar{A}$, противоположное событию $A = \{A_2\}$. Оно содержит все элементарные исходы из $U$, не входящие в $A$.

$\bar{A} = U \setminus A = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_2\} = \{A_1, A_3, A_4, A_5\}$.

Теперь требуется найти, для каких из данных событий $X \in \{A, B, C, D\}$ выполняется условие $X \subseteq \bar{A}$.

• Проверяем $A = \{A_2\}$: элемент $A_2$ принадлежит $A$, но не принадлежит $\bar{A}$, поэтому $A \not\subseteq \bar{A}$.

• Проверяем $B = \{A_1, A_3\}$: каждый элемент из $B$ содержится в $\bar{A}$, поэтому $B \subseteq \bar{A}$.

• Проверяем $C = \{A_1, A_2, A_3\}$: элемент $A_2$ принадлежит $C$, но не принадлежит $\bar{A}$, поэтому $C \not\subseteq \bar{A}$.

• Проверяем $D = \{A_1, A_3, A_5\}$: каждый элемент из $D$ содержится в $\bar{A}$, поэтому $D \subseteq \bar{A}$.

Следовательно, событие $\bar{A}$ является следствием событий $B$ и $D$.

Ответ: $B, D$.

5.6. Монета брошена два раза. Запишите пространство элементарных событий.

Пространство элементарных событий (или исходов) — это множество всех возможных результатов случайного эксперимента. В данном случае эксперимент заключается в том, что монету бросают два раза.

Для каждого броска монеты есть два возможных исхода: выпадение «орла» (О) или «решки» (Р).

Поскольку монета бросается дважды, каждый элементарный исход будет представлять собой упорядоченную пару, где первый элемент — результат первого броска, а второй элемент — результат второго броска.

Перечислим все возможные комбинации исходов:

1. В первый раз выпал орел, и во второй раз выпал орел. Этот исход обозначается как (О, О).

2. В первый раз выпал орел, а во второй — решка. Этот исход обозначается как (О, Р).

3. В первый раз выпала решка, а во второй — орел. Этот исход обозначается как (Р, О).

4. В первый раз выпала решка, и во второй раз выпала решка. Этот исход обозначается как (Р, Р).

Таким образом, пространство элементарных событий, которое обычно обозначают греческой буквой Омега ($\Omega$), состоит из этих четырех возможных исходов.

Ответ: $\Omega = \{ (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р) \}$.

5.7. Даны события $A, B, C$ и $D$.

$A$ – событие «два раза выпал герб при двухкратном бросании монеты»;

$B$ – событие «наудачу записанное двузначное число не превышает 99»;

$C$ – событие «при бросании игральной кости выпавшее очко не превышает 5»;

$D$ – событие «при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков больше, чем 12».

Из этих событий укажите: 1) достоверное; 2) невозможное событие.

Для того чтобы определить, какие из событий являются достоверными, а какие — невозможными, необходимо проанализировать условия каждого события.

1) достоверное

Достоверным называется событие, которое в результате данного опыта произойдет с вероятностью, равной 1, то есть оно произойдет обязательно.

Проверим каждое событие:

- Событие A «два раза выпал герб при двукратном бросании монеты». При двух бросках монеты возможны исходы: (герб, герб), (герб, решка), (решка, герб), (решка, решка). Событие А может произойти, но не является обязательным. Например, может выпасть (герб, решка). Следовательно, это событие не достоверное, а случайное. Его вероятность $P(A) = 1/4$.

- Событие B «наудачу записанное двузначное число не превышает 99». Двузначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 до 99. Любое число из этого множества по определению не может быть больше 99. Таким образом, данное событие произойдет всегда, для любого двузначного числа. Это достоверное событие.

- Событие C «при бросании игральной кости выпавшее очко не превышает 5». На игральной кости 6 граней с очками от 1 до 6. Событие C наступит, если выпадет 1, 2, 3, 4 или 5. Однако, если выпадет 6, то событие C не произойдет. Значит, это событие не является достоверным.

- Событие D «при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков больше, чем 12». Это событие не может быть достоверным, так как оно в принципе не может произойти (что будет показано ниже).

Следовательно, достоверным является только событие B.

Ответ: B.

2) невозможное

Невозможным называется событие, которое в результате данного опыта не может произойти. Вероятность невозможного события равна 0.

Проверим каждое событие:

- События A и C, как мы уже установили, являются случайными, то есть они могут произойти. Следовательно, они не невозможные.

- Событие B является достоверным, оно происходит всегда, поэтому оно не может быть невозможным.

- Событие D «при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков больше, чем 12». Максимальное количество очков, которое может выпасть на одной игральной кости, — 6. При бросании двух костей максимально возможная сумма очков составит $6 + 6 = 12$. Получить сумму, которая строго больше 12, невозможно. Таким образом, это событие никогда не произойдет.

Следовательно, невозможным является событие D.

Ответ: D.

5.8. Пусть событие A является следствием события B. Определите значение выражения:

1) $A+B$

2) $A \cdot B$

Условие, что событие A является следствием события B, означает, что если происходит событие B, то обязательно происходит и событие A. В терминах теории множеств это означает, что множество элементарных исходов, благоприятствующих событию B, является подмножеством множества элементарных исходов, благоприятствующих событию A. Математически это записывается как $B \subseteq A$.

Эту взаимосвязь можно наглядно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна, где множество B полностью находится внутри множества A:

Исходя из этого, определим значения выражений.

1) A + B

Суммой двух событий $A + B$ (также обозначается как $A \cup B$) называется событие, которое происходит, если наступает хотя бы одно из событий: либо A, либо B. Поскольку событие B является подмножеством события A ($B \subseteq A$), это означает, что любой элементарный исход, входящий в B, также входит и в A. Следовательно, объединение множеств A и B будет равно самому множеству A. Если произошло событие B, то произошло и A. Если произошло A, но не B, то условие "произошло хотя бы одно" также выполняется. Таким образом, событие $A+B$ эквивалентно событию A.

$A + B = A \cup B = A$

Ответ: $A$.

2) A · B

Произведением двух событий $A \cdot B$ (также обозначается как $A \cap B$) называется событие, которое происходит, если наступают оба события A и B одновременно. Нам нужно найти исходы, которые являются общими для обоих событий. Так как по условию $B \subseteq A$, все исходы события B одновременно являются и исходами события A. Это значит, что пересечение этих двух множеств будет в точности равно множеству B. Совместное наступление A и B возможно тогда и только тогда, когда наступает B.

$A \cdot B = A \cap B = B$

Ответ: $B$.