Страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие события называются элементарными событиями?

2. Что такое пространство элементарных событий? Приведите пример.

3. Какие события называются достоверными, невозможными, совместными и несовместными? Приведите пример.

4. Что такое случайное событие? Приведите пример.

5. Что такое противоположное событие, следствие? Приведите пример.

6. Объясните понятия зависимых и независимых событий.

7. Какие действия применяются к событиям? Объясните их диаграммами Эйлера–Венна.

1. Какие события называются элементарными событиями?

Элементарными событиями (или элементарными исходами) называются простейшие, неделимые результаты некоторого случайного эксперимента. В результате одного испытания может произойти только одно элементарное событие. Из элементарных событий состоят все остальные события.

Ответ: Элементарное событие — это любой простейший, неделимый исход случайного эксперимента.

2. Что такое пространство элементарных событий? Приведите пример.

Пространство элементарных событий — это множество всех возможных элементарных событий (исходов) в данном эксперименте. Обычно оно обозначается греческой буквой омега ($ \Omega $).

Пример: эксперимент заключается в однократном броске стандартного игрального кубика. Элементарными событиями являются выпадения чисел от 1 до 6. Пространство элементарных событий в этом случае будет: $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Ответ: Пространство элементарных событий — это множество всех возможных исходов эксперимента. Пример: для броска монеты $ \Omega = \{Орел, Решка\} $.

3. Какие события называются достоверными, невозможными, совместными и несовместными? Приведите пример.

Достоверное событие — это событие, которое гарантированно произойдет в результате эксперимента. Оно включает в себя все исходы из пространства элементарных событий $ \Omega $.
Пример: при броске игрального кубика событие "выпадет число, меньшее 7" является достоверным.

Невозможное событие — это событие, которое не может произойти в результате эксперимента ни при каких условиях. Ему соответствует пустое множество $ \emptyset $.
Пример: при броске игрального кубика событие "выпадет число 8" является невозможным.

Совместные события — это два или более события, которые могут произойти одновременно в рамках одного эксперимента. Их пересечение не является пустым множеством.
Пример: при вытаскивании одной карты из колоды событие A="вытащить даму" и событие B="вытащить карту пиковой масти" являются совместными, так как можно вытащить "даму пик".

Несовместные события — это два или более события, которые не могут произойти одновременно в рамках одного эксперимента. Появление одного из них исключает появление другого.
Пример: при броске кубика событие A="выпало четное число" и событие B="выпало нечетное число" являются несовместными.

Ответ: Достоверное — происходит всегда (выпадет меньше 7 на кубике). Невозможное — не происходит никогда (выпадет 7 на кубике). Совместные — могут произойти вместе (выпадет "четное число" и "число больше 3"). Несовместные — не могут произойти вместе (выпадет "четное число" и "нечетное число").

4. Что такое случайное событие? Приведите пример.

Случайное событие — это событие, которое в результате эксперимента может как произойти, так и не произойти. Любое подмножество пространства элементарных событий, за исключением невозможного и достоверного событий, является случайным.

Пример: при броске монеты событие "выпадение орла" является случайным. Оно может произойти, а может и не произойти.

Ответ: Случайное событие — это исход эксперимента, который может произойти, а может и не произойти. Пример: выигрыш в лотерею.

5. Что такое противоположное событие, следствие? Приведите пример.

Противоположное событие (или дополнение) для события $A$ — это событие, обозначаемое $ \bar{A} $, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$. События $A$ и $ \bar{A} $ несовместны и вместе образуют все пространство элементарных событий. Сумма их вероятностей равна 1: $ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $.
Пример: при броске кубика событию A="выпало число 5" противоположным является событие $ \bar{A} $="не выпало число 5", то есть выпало 1, 2, 3, 4 или 6.

Следствие. Говорят, что событие $B$ является следствием события $A$, если каждый раз, когда происходит событие $A$, обязательно происходит и событие $B$. Это означает, что множество исходов, благоприятствующих событию $A$, является подмножеством исходов, благоприятствующих событию $B$ ($ A \subseteq B $).
Пример: при броске кубика событие B="выпало четное число" ($\{2, 4, 6\}$) является следствием события A="выпала четверка" ($\{4\}$). Если произойдет A, то гарантированно произойдет и B.

Ответ: Противоположное событие $ \bar{A} $ — это "не A". Следствие ($ A \subseteq B $) — если произошло A, значит, произошло и B.

6. Объясните понятия зависимых и независимых событий.

Независимые события — это события, для которых вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Для независимых событий A и B вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $.
Пример: проводится два броска монеты. Событие A="в первый раз выпал орел" и событие B="во второй раз выпала решка" являются независимыми. Результат первого броска никак не влияет на результат второго.

Зависимые события — это события, для которых вероятность наступления одного из них изменяется в зависимости от того, произошло или не произошло другое событие. Для зависимых событий $ P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) $.
Пример: из колоды карт (без джокеров) вынимают последовательно две карты без возвращения. Событие A="первая карта — туз" и событие B="вторая карта — туз" являются зависимыми. Если первая карта была тузом (событие A произошло), то вероятность вытащить туз вторым уменьшается, так как и тузов, и карт в колоде стало меньше.

Ответ: Независимые события не влияют друг на друга (два броска монеты). Зависимые события влияют (две карты из колоды без возвращения).

7. Какие действия применяются к событиям? Объясните их диаграммами Эйлера-Венна.

К событиям, как к множествам, применяются следующие основные действия: объединение (сумма), пересечение (произведение), разность и дополнение.

Объединение (сумма) событий $A$ и $B$ (обозначается $ A \cup B $) — это событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий: $A$ или $B$ или обоих вместе. На диаграмме закрашена вся область, занимаемая кругами A и B.

Пересечение (произведение) событий $A$ и $B$ (обозначается $ A \cap B $) — это событие, которое заключается в одновременном наступлении и события $A$, и события $B$. На диаграмме закрашена общая область пересечения кругов A и B.

Разность событий $A$ и $B$ (обозначается $ A \setminus B $) — это событие, которое заключается в том, что $A$ происходит, а $B$ не происходит. На диаграмме закрашена та часть круга A, которая не пересекается с кругом B.

Дополнение (противоположное событие) $ \bar{A} $ — это событие, которое наступает, когда не наступает $A$. Это разность $ \Omega \setminus A $. На диаграмме закрашена вся область пространства $ \Omega $ за исключением круга A.

Ответ: Основные действия над событиями — это объединение ($ A \cup B $), пересечение ($ A \cap B $), разность ($ A \setminus B $) и дополнение ($ \bar{A} $), которые можно наглядно представить с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Практическая работа

Докажите соотношения: 1) $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$;

2) $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Данные соотношения являются законами де Моргана для теории множеств (или булевой алгебры). Докажем их, используя диаграммы Эйлера-Венна, где множества A и B являются подмножествами универсального множества U.

1) Докажите соотношение $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

В данной записи $A+B$ означает объединение множеств ($A \cup B$), $A \cdot B$ — пересечение множеств ($A \cap B$), а черта сверху ($\overline{X}$) — дополнение множества X до универсального множества U.

Шаг 1: Изобразим левую часть равенства $\overline{A + B}$ (дополнение объединения).

Сначала рассмотрим объединение $A+B$. Это область, включающая все элементы, принадлежащие множеству A, или множеству B, или обоим сразу. На диаграмме она закрашена серым.

Диаграмма для $A+B$:

Дополнение объединения, $\overline{A+B}$, — это все элементы универсального множества U, которые не входят в $A+B$. На диаграмме это область вне обоих кругов.

Итоговая диаграмма для левой части, $\overline{A+B}$:

Шаг 2: Изобразим правую часть равенства $\overline{A} \cdot \overline{B}$ (пересечение дополнений).

Сначала изобразим дополнение множества A, $\overline{A}$ (все, что вне A), и дополнение множества B, $\overline{B}$ (все, что вне B).

Диаграмма для $\overline{A}$:

Диаграмма для $\overline{B}$:

Пересечение этих двух областей, $\overline{A} \cdot \overline{B}$, — это область, которая является общей для $\overline{A}$ и $\overline{B}$, то есть все элементы, которые не принадлежат ни A, ни B. Эта область совпадает с областью, закрашенной на диаграмме для $\overline{A+B}$.

Шаг 3: Сравнение.

Сравнивая итоговую диаграмму для $\overline{A+B}$ и область пересечения для $\overline{A} \cdot \overline{B}$, видим, что они полностью совпадают. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Доказательство представлено выше с помощью диаграмм Эйлера-Венна, которые показывают идентичность областей, соответствующих левой и правой частям равенства.

2) Докажите соотношение $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$

Шаг 1: Изобразим левую часть равенства $\overline{A \cdot B}$ (дополнение пересечения).

Сначала рассмотрим пересечение $A \cdot B$. Это область, включающая все элементы, принадлежащие одновременно и множеству A, и множеству B. На диаграмме она закрашена серым.

Диаграмма для $A \cdot B$:

Дополнение пересечения, $\overline{A \cdot B}$, — это все элементы универсального множества U, которые не входят в $A \cdot B$. На диаграмме это вся область за исключением общей части кругов A и B.

Итоговая диаграмма для левой части, $\overline{A \cdot B}$:

Шаг 2: Изобразим правую часть равенства $\overline{A} + \overline{B}$ (объединение дополнений).

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим диаграммы для $\overline{A}$ и $\overline{B}$.

Диаграмма для $\overline{A}$:

Диаграмма для $\overline{B}$:

Объединение этих двух областей, $\overline{A} + \overline{B}$, — это область, которая включает все закрашенные части из обеих диаграмм. Единственная незакрашенная область — это та, что не входит ни в $\overline{A}$, ни в $\overline{B}$, то есть пересечение $A \cdot B$. Таким образом, итоговая область для $\overline{A} + \overline{B}$ совпадает с областью, закрашенной на диаграмме для $\overline{A \cdot B}$.

Шаг 3: Сравнение.

Сравнивая итоговую диаграмму для $\overline{A \cdot B}$ и область объединения для $\overline{A} + \overline{B}$, видим, что они полностью совпадают. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Доказательство представлено выше с помощью диаграмм Эйлера-Венна, которые показывают идентичность областей, соответствующих левой и правой частям равенства.

5.1. В коробке имеются альчики белого, красного и синего цветов. Через $A$, $B$ и $C$ обозначим события «наудачу извлеченный из коробки альчик окажется соответственно белого, красного и синего цветов». Разъясните смысл события:

1) $A+C$;

2) $A$;

3) $A+B$.

Введем обозначения событий, как указано в условии задачи:
$A$ – событие, состоящее в том, что наудачу извлеченный из коробки альчик окажется белого цвета.
$B$ – событие, состоящее в том, что наудачу извлеченный из коробки альчик окажется красного цвета.
$C$ – событие, состоящее в том, что наудачу извлеченный из коробки альчик окажется синего цвета.

1) A+C

Событие $A+C$ представляет собой сумму (или объединение) событий $A$ и $C$. Сумма двух событий — это событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из этих событий. В данном контексте это означает, что извлеченный альчик должен быть либо белым (событие $A$), либо синим (событие $C$). Так как один и тот же альчик не может быть одновременно двух цветов, события $A$ и $C$ являются несовместными. Таким образом, событие $A+C$ заключается в том, что извлеченный альчик будет белого или синего цвета.
Ответ: Событие $A+C$ означает, что наудачу извлеченный из коробки альчик окажется белого или синего цвета.

2) A

Событие $A$ является элементарным событием, его смысл определен непосредственно в условии задачи. Это событие наступает в том и только в том случае, когда из коробки извлекают альчик белого цвета.
Ответ: Событие $A$ означает, что наудачу извлеченный из коробки альчик окажется белого цвета.

3) A+B

Событие $A+B$ представляет собой сумму событий $A$ и $B$. Аналогично первому пункту, это событие произойдет, если произойдет либо событие $A$ (извлечен белый альчик), либо событие $B$ (извлечен красный альчик). События $A$ и $B$ также являются несовместными. Следовательно, событие $A+B$ означает, что извлеченный альчик будет или белым, или красным.
Ответ: Событие $A+B$ означает, что наудачу извлеченный из коробки альчик окажется белого или красного цвета.

5.2. Пространство элементарных событий состоит из пяти элементов: $U=\{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$. Тогда из событий $A=\{A_1, A_2\}$, $B=\{A_3, A_4\}$, $C=\{A_4, A_5\}$, $D=\{A_1, A_3, A_5\}$ укажите:

1) попарно несовместные события;

2) все пары совместных событий;

3) для каждого из них запишите противоположные события.

Дано пространство элементарных событий $U=\{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$ и события:

$A=\{A_1, A_2\}$

$B=\{A_3, A_4\}$

$C=\{A_4, A_5\}$

$D=\{A_1, A_3, A_5\}$

1) попарно несовместные события;

Два события называются несовместными (или взаимно исключающими), если их пересечение является пустым множеством, то есть они не могут произойти одновременно. Математически это записывается как $X \cap Y = \emptyset$.

Проверим все возможные пары событий:

• Пара A и B: $A \cap B = \{A_1, A_2\} \cap \{A_3, A_4\} = \emptyset$. Эти события несовместны.
• Пара A и C: $A \cap C = \{A_1, A_2\} \cap \{A_4, A_5\} = \emptyset$. Эти события несовместны.
• Пара A и D: $A \cap D = \{A_1, A_2\} \cap \{A_1, A_3, A_5\} = \{A_1\}$. Так как пересечение не пусто, события совместны.
• Пара B и C: $B \cap C = \{A_3, A_4\} \cap \{A_4, A_5\} = \{A_4\}$. События совместны.
• Пара B и D: $B \cap D = \{A_3, A_4\} \cap \{A_1, A_3, A_5\} = \{A_3\}$. События совместны.
• Пара C и D: $C \cap D = \{A_4, A_5\} \cap \{A_1, A_3, A_5\} = \{A_5\}$. События совместны.

Ответ: Парами несовместных событий являются (A, B) и (A, C).

2) все пары совместных событий;

Два события называются совместными, если их пересечение не является пустым множеством ($X \cap Y \neq \emptyset$), то есть у них есть хотя бы один общий элементарный исход.

Из анализа в предыдущем пункте находим все пары с непустым пересечением:

• Пара A и D: $A \cap D = \{A_1\}$
• Пара B и C: $B \cap C = \{A_4\}$
• Пара B и D: $B \cap D = \{A_3\}$
• Пара C и D: $C \cap D = \{A_5\}$

Ответ: Парами совместных событий являются (A, D), (B, C), (B, D) и (C, D).

3) для каждого из них запишите противоположные события.

Противоположное событие $\bar{X}$ (читается "не X") к событию $X$ — это событие, которое состоит из всех элементарных исходов из пространства $U$, не входящих в $X$. Формула для нахождения: $\bar{X} = U \setminus X$.

• Для события A: $\bar{A} = U \setminus A = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_1, A_2\} = \{A_3, A_4, A_5\}$.
• Для события B: $\bar{B} = U \setminus B = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_3, A_4\} = \{A_1, A_2, A_5\}$.
• Для события C: $\bar{C} = U \setminus C = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_4, A_5\} = \{A_1, A_2, A_3\}$.
• Для события D: $\bar{D} = U \setminus D = \{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\} \setminus \{A_1, A_3, A_5\} = \{A_2, A_4\}$.

Ответ:
Противоположное событие для A: $\bar{A} = \{A_3, A_4, A_5\}$.
Противоположное событие для B: $\bar{B} = \{A_1, A_2, A_5\}$.
Противоположное событие для C: $\bar{C} = \{A_1, A_2, A_3\}$.
Противоположное событие для D: $\bar{D} = \{A_2, A_4\}$.