Страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.162. Найдите наибольшее значение выражения $\frac{\cos 2\alpha + 1}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}$ при $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Для нахождения наибольшего значения выражения преобразуем его, упростив числитель и знаменатель.

Преобразование числителя. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1$. Тогда числитель принимает вид:

$\cos{2\alpha} + 1 = (2\cos^2{\alpha} - 1) + 1 = 2\cos^2{\alpha}$.

Преобразование знаменателя. Знаменатель выражения равен $\ctg{\frac{\alpha}{2}} - \tg{\frac{\alpha}{2}}$. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$\ctg{\frac{\alpha}{2}} - \tg{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos{\frac{\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}} - \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{\cos^2{\frac{\alpha}{2}} - \sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}$.

Используя формулы двойного угла для косинуса ($\cos{\alpha} = \cos^2{\frac{\alpha}{2}} - \sin^2{\frac{\alpha}{2}}$) и синуса ($\sin{\alpha} = 2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}$), получаем:

$\frac{\cos{\alpha}}{\frac{1}{2}\sin{\alpha}} = 2\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = 2\ctg{\alpha}$.

Все преобразования корректны, так как при $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ знаменатели тригонометрических функций не обращаются в ноль.

Упрощение исходного выражения. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{\cos{2\alpha} + 1}{\ctg{\frac{\alpha}{2}} - \tg{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{2\cos^2{\alpha}}{2\ctg{\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha}}{\ctg{\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha}}{\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}} = \cos^2{\alpha} \cdot \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$, получаем окончательное упрощенное выражение:

$\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$.

Нахождение наибольшего значения. Нам нужно найти наибольшее значение функции $f(\alpha) = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$ при условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим интервал для аргумента $2\alpha$. Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, то, умножив на 2, получим $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \sin{x}$ строго возрастает от $\sin(0)=0$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$.

Следовательно, функция $f(\alpha) = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$ также строго возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{4})$.

Так как функция строго возрастает на открытом интервале, она не достигает своего наибольшего значения внутри этого интервала. Наибольшее значение в данном случае — это точная верхняя грань (супремум) множества значений функции, которая равна пределу функции при $\alpha$, стремящемся к правому концу интервала:

$\lim_{\alpha \to \frac{\pi}{4}^-} \frac{1}{2}\sin{2\alpha} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, наибольшее значение, к которому стремится выражение, равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4.163. Докажите равенства:

1) $\sin 2\alpha = \sin 2\beta;$

2) $\cos 2\alpha = -\cos 2\beta,$

если $\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta = 1.$

Начнем с преобразования данного в условии равенства $tg\alpha \cdot tg\beta = 1$.
Используя определение тангенса $tgx = \frac{sinx}{cosx}$, получим (при условии, что $cos\alpha \neq 0$ и $cos\beta \neq 0$):
$\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{sin\beta}{cos\beta} = 1$
Отсюда следует, что $sin\alpha \cdot sin\beta = cos\alpha \cdot cos\beta$.
Перенеся все члены в одну часть, получим:
$cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta = 0$
Левая часть этого равенства является формулой косинуса суммы углов, $cos(\alpha + \beta)$.
Таким образом, исходное условие эквивалентно равенству $cos(\alpha + \beta) = 0$.
Это означает, что сумма углов $\alpha + \beta$ равна $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Это ключевое соотношение, которое мы будем использовать для доказательства.

1) sin2α=sin2β;

Для доказательства воспользуемся выведенным соотношением $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Умножим обе части на 2: $2(\alpha + \beta) = 2(\frac{\pi}{2} + \pi k)$, что дает $2\alpha + 2\beta = \pi + 2\pi k$.
Выразим отсюда $2\beta$:
$2\beta = \pi - 2\alpha + 2\pi k$.
Теперь подставим это выражение в $sin(2\beta)$:
$sin(2\beta) = sin(\pi - 2\alpha + 2\pi k)$.
Поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, имеем $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$.
Следовательно, $sin(2\beta) = sin(\pi - 2\alpha)$.
Используя формулу приведения $sin(\pi - y) = sin(y)$, получаем:
$sin(2\beta) = sin(2\alpha)$.
Таким образом, равенство $sin(2\alpha) = sin(2\beta)$ доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) cos2α=−cos2β

Аналогично первому пункту, используем соотношение $2\beta = \pi - 2\alpha + 2\pi k$.
Подставим это выражение в $cos(2\beta)$:
$cos(2\beta) = cos(\pi - 2\alpha + 2\pi k)$.
Поскольку косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, имеем $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$.
Следовательно, $cos(2\beta) = cos(\pi - 2\alpha)$.
Используя формулу приведения $cos(\pi - y) = -cos(y)$, получаем:
$cos(2\beta) = -cos(2\alpha)$.
Это равенство эквивалентно тому, что требовалось доказать: $cos(2\alpha) = -cos(2\beta)$.

Ответ: Равенство доказано.

4.164. Докажите равенство $sin(\alpha+2\beta)=sin\alpha$, если $cos(\alpha+\beta)=0$.

Нам дано условие $cos(α+β)=0$. Из этого следует, что аргумент косинуса $α+β$ является нечетным кратным $\frac{π}{2}$. То есть, $α + β = \frac{π}{2} + πk$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Наша задача — доказать, что $sin(α+2β)=sinα$.

Преобразуем аргумент функции синус в левой части равенства: $α+2β$. Мы можем переписать его, используя известное нам соотношение для $α+β$:
$α + 2β = 2α + 2β - α = 2(α + β) - α$

Теперь подставим выражение для $α+β$ из первого шага:
$α + 2β = 2(\frac{π}{2} + πk) - α = π + 2πk - α$

Подставим это преобразованное выражение обратно в синус:
$sin(α+2β) = sin(π + 2πk - α)$

Поскольку функция синус является периодической с периодом $2π$, мы можем отбросить член $2πk$ в аргументе:
$sin(π + 2πk - α) = sin(π - α)$

Используя формулу приведения для синуса, получаем:
$sin(π - α) = sinα$

Таким образом, мы показали, что $sin(α+2β) = sinα$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin(α+2β)=sinα$ при условии $cos(α+β)=0$ доказано.

4.165. Составьте уравнение для определения $\cos \frac{\alpha}{3}$, если $\cos\alpha = m$.

Для того чтобы составить уравнение для определения $cos\frac{\alpha}{3}$, мы воспользуемся формулой косинуса тройного угла, которая связывает косинус угла с косинусом его трети.

Формула косинуса тройного угла имеет вид:$cos(3\theta) = 4cos^3(\theta) - 3cos(\theta)$.

В нашем случае мы хотим найти выражение для $cos\frac{\alpha}{3}$. Давайте в формуле тройного угла сделаем замену $\theta = \frac{\alpha}{3}$. Тогда $3\theta = 3 \cdot \frac{\alpha}{3} = \alpha$.

Подставив $\theta = \frac{\alpha}{3}$ в формулу, мы получим:$cos(\alpha) = 4cos^3\left(\frac{\alpha}{3}\right) - 3cos\left(\frac{\alpha}{3}\right)$.

По условию задачи нам дано, что $cos(\alpha) = m$. Заменим $cos(\alpha)$ на $m$ в полученном уравнении:$m = 4cos^3\left(\frac{\alpha}{3}\right) - 3cos\left(\frac{\alpha}{3}\right)$.

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение относительно $cos\frac{\alpha}{3}$ в стандартной форме:$4cos^3\left(\frac{\alpha}{3}\right) - 3cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) - m = 0$.

Это и есть искомое уравнение. Если обозначить $x = cos\frac{\alpha}{3}$, то уравнение примет вид кубического уравнения $4x^3 - 3x - m = 0$, решив которое, можно определить значение $cos\frac{\alpha}{3}$.

Ответ: $4\cos^3\frac{\alpha}{3} - 3\cos\frac{\alpha}{3} - m = 0$.

4.166. Найдите $tg \frac{\alpha}{2}$, если $sin\alpha+cos\alpha=\frac{1}{5}$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, которые выражают синус и косинус угла $\alpha$ через тангенс половинного угла $\frac{\alpha}{2}$.

Формулы выглядят следующим образом:

$\sin\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

Для удобства введем замену. Пусть $t = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$. Тогда формулы примут вид:

$\sin\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}$

$\cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{5}$:

$\frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{1}{5}$

Так как знаменатели дробей в левой части одинаковы, мы можем их сложить:

$\frac{2t + 1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{1}{5}$

Теперь решим это уравнение. Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot (2t + 1 - t^2) = 1 \cdot (1 + t^2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$10t + 5 - 5t^2 = 1 + t^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$t^2 + 5t^2 - 10t + 1 - 5 = 0$

$6t^2 - 10t - 4 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Поскольку мы сделали замену $t = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$, найденные значения $t_1$ и $t_2$ являются возможными значениями для $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $2$ или $-\frac{1}{3}$.

4.167. Найдите сумму:

1) $\cos3\alpha+\cos5\alpha+\cos7\alpha+\cos9\alpha;$

2) $\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}.$

1) Для нахождения суммы $cos3\alpha+cos5\alpha+cos7\alpha+cos9\alpha$ воспользуемся формулой суммы косинусов: $cosA + cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$. Сгруппируем слагаемые попарно: первое с четвертым и второе с третьим.

$(cos9\alpha + cos3\alpha) + (cos7\alpha + cos5\alpha)$

Применим формулу к каждой паре:

$cos9\alpha + cos3\alpha = 2cos\frac{9\alpha+3\alpha}{2}cos\frac{9\alpha-3\alpha}{2} = 2cos6\alpha \cdot cos3\alpha$

$cos7\alpha + cos5\alpha = 2cos\frac{7\alpha+5\alpha}{2}cos\frac{7\alpha-5\alpha}{2} = 2cos6\alpha \cdot cos\alpha$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$2cos6\alpha \cdot cos3\alpha + 2cos6\alpha \cdot cos\alpha$

Вынесем общий множитель $2cos6\alpha$ за скобки:

$2cos6\alpha(cos3\alpha + cos\alpha)$

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$cos3\alpha + cos\alpha = 2cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2cos2\alpha \cdot cos\alpha$

Подставим результат обратно:

$2cos6\alpha \cdot (2cos2\alpha \cdot cos\alpha) = 4cos\alpha \cdot cos2\alpha \cdot cos6\alpha$

Ответ: $4cos\alpha \cdot cos2\alpha \cdot cos6\alpha$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x}$, преобразуем числитель и знаменатель по отдельности, используя формулы суммы синусов и косинусов.

Преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые: $(\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x)$.

Применяя формулу $sinA + sinB = 2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$:

$\sin 4x + \sin x = 2\sin\frac{4x+x}{2}\cos\frac{4x-x}{2} = 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}$

$\sin 3x + \sin 2x = 2\sin\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2} = 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}$

Числитель: $2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\sin\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2})$.

Преобразуем сумму косинусов в скобках: $\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2} = 2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2} = 2\cos x \cos\frac{x}{2}$.

Итого числитель равен: $2\sin\frac{5x}{2} \cdot 2\cos x \cos\frac{x}{2} = 4\sin\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2}$.

Теперь преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые: $(\cos 4x + \cos x) + (\cos 3x + \cos 2x)$.

Применяя формулу $cosA + cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$:

$\cos 4x + \cos x = 2\cos\frac{4x+x}{2}\cos\frac{4x-x}{2} = 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2}$

$\cos 3x + \cos 2x = 2\cos\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2} = 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}$

Знаменатель: $2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\cos\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2})$.

Сумма косинусов в скобках такая же, как и в числителе: $2\cos x \cos\frac{x}{2}$.

Итого знаменатель равен: $2\cos\frac{5x}{2} \cdot 2\cos x \cos\frac{x}{2} = 4\cos\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{4\sin\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2}}{4\cos\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2}} = \frac{\sin\frac{5x}{2}}{\cos\frac{5x}{2}} = tg\frac{5x}{2}$

Преобразование справедливо при условии, что знаменатель не равен нулю.

Ответ: $tg\frac{5x}{2}$.

4.168. Докажите тождество $3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)-2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)=1$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Рассмотрим каждое из выражений в скобках по отдельности.

1. Преобразуем выражение $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$.

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Возведем обе части этого тождества в квадрат:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sin^2\alpha)^2 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2 = 1$

$\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha = 1$

Отсюда выразим сумму четвертых степеней синуса и косинуса:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

2. Теперь преобразуем выражение $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$.

Представим это выражение как сумму кубов, где $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$.

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha)$.

Поскольку $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha) = (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Теперь подставим найденное в пункте 1 выражение для $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

3. Подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - 2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) = 3(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 2(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha)$.

Раскроем скобки и выполним упрощение:

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 3 - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 2 + 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Приведем подобные слагаемые:

$(3 - 2) + (-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 + 0 = 1$.

В результате преобразований левая часть оказалась равной 1, что соответствует правой части тождества.

Ответ: Тождество $3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - 2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) = 1$ доказано.

4.169. Докажите, что значение выражения $\sin^2 2\varphi \cdot 0,5 \cos 4\varphi + 2\sin^2 \varphi + \cos 2\varphi$ не зависит от $\varphi$.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от $\phi$, необходимо это выражение упростить. Обозначим его как $E$.

Исходное выражение: $E = \sin^2 2\phi \cdot 0,5\cos 4\phi + 2\sin^2\phi + \cos2\phi$.

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Наиболее вероятно, что между членами $\sin^2 2\phi$ и $0,5\cos 4\phi$ пропущен знак сложения `+`. При таком предположении задача имеет логичное решение, приводящее к константе. Будем исходить из скорректированного выражения:

$E = \sin^2 2\phi + 0,5\cos 4\phi + 2\sin^2\phi + \cos 2\phi$.

Сначала преобразуем сумму последних двух слагаемых, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$2\sin^2\phi + \cos 2\phi = 2\sin^2\phi + (1 - 2\sin^2\phi) = 1$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для $E$:

$E = \sin^2 2\phi + 0,5\cos 4\phi + 1$.

Далее, преобразуем $\cos 4\phi$. Применим ту же формулу косинуса двойного угла, но для угла $2\phi$, то есть $\cos(2 \cdot 2\phi)$:

$\cos 4\phi = 1 - 2\sin^2 2\phi$.

Подставим это выражение в нашу формулу для $E$:

$E = \sin^2 2\phi + 0,5(1 - 2\sin^2 2\phi) + 1$.

Раскроем скобки, умножив $0,5$ на каждый член в скобках:

$E = \sin^2 2\phi + 0,5 - 0,5 \cdot 2\sin^2 2\phi + 1$.

$E = \sin^2 2\phi + 0,5 - \sin^2 2\phi + 1$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $\sin^2 2\phi$ и $-\sin^2 2\phi$ взаимно уничтожаются:

$E = 0,5 + 1 = 1,5$.

Таким образом, мы показали, что значение исходного выражения (с учетом исправленной опечатки) равно константе 1,5 и, следовательно, не зависит от значения переменной $\phi$.

Ответ: Значение выражения равно 1,5, следовательно, оно не зависит от $\phi$, что и требовалось доказать.

4.170. Является ли функция $y = \cos^2 x$ периодической? Если да, то найдите ее наименьший положительный период.

Да, функция $y = \cos^2 x$ является периодической. Чтобы найти ее наименьший положительный период, преобразуем данную функцию, используя тригонометрическую формулу понижения степени.

Формула понижения степени для косинуса имеет вид: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим эту формулу к нашей функции $y = \cos^2 x$:

$ y = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x) $.

Период функции $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$ совпадает с периодом функции $g(x) = \cos(2x)$, так как сложение с константой $\frac{1}{2}$ (сдвиг графика вверх) и умножение на константу $\frac{1}{2}$ (сжатие графика к оси абсцисс) не влияют на величину периода.

Наименьший положительный период функции вида $f(x) = \cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\cos(x)$, равный $2\pi$.

Для функции $g(x) = \cos(2x)$ коэффициент $k=2$. Найдем ее период:

$ T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi $.

Следовательно, наименьший положительный период функции $y = \cos^2 x$ равен $\pi$.

Можно также выполнить проверку. По определению периодической функции, должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.

$ y(x+\pi) = \cos^2(x+\pi) = (\cos(x+\pi))^2 $.

Используя формулу приведения $\cos(x+\pi) = -\cos x$, получаем:

$ (\cos(x+\pi))^2 = (-\cos x)^2 = \cos^2 x = y(x) $.

Равенство $y(x+\pi) = y(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, значит $\pi$ является периодом. Так как он был получен на основе периода функции $\cos(2x)$, он является наименьшим положительным периодом.

Ответ: Да, функция является периодической, ее наименьший положительный период равен $\pi$.

4.171. Покажите, что значение выражения $ \cos^2x + \cos^2(\alpha+x) - 2\cos\alpha \cdot \cos x \cdot \cos(\alpha+x) $ не зависит от $x$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, мы его упростим, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим данное выражение:

$\cos^2 x + \cos^2(\alpha+x) - 2\cos\alpha \cos x \cos(\alpha+x)$

Сгруппируем второе и третье слагаемые, вынеся за скобки общий множитель $\cos(\alpha+x)$:

$\cos^2 x + \cos(\alpha+x)[\cos(\alpha+x) - 2\cos\alpha \cos x]$

Упростим выражение в квадратных скобках. Для этого воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha+x) = \cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x$.

$\cos(\alpha+x) - 2\cos\alpha \cos x = (\cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x) - 2\cos\alpha \cos x = -\cos\alpha \cos x - \sin\alpha \sin x$

Вынесем знак минус за скобки и воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha-x) = \cos\alpha \cos x + \sin\alpha \sin x$.

$-(\cos\alpha \cos x + \sin\alpha \sin x) = -\cos(\alpha-x)$

Теперь подставим полученный результат обратно в преобразуемое выражение:

$\cos^2 x + \cos(\alpha+x) [-\cos(\alpha-x)] = \cos^2 x - \cos(\alpha+x)\cos(\alpha-x)$

Применим формулу произведения косинусов, которая следует из формул косинуса суммы и разности: $\cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \sin^2 B$. В нашем случае $A=\alpha$ и $B=x$.

$\cos(\alpha+x)\cos(\alpha-x) = \cos^2\alpha - \sin^2 x$

Подставим это в наше выражение:

$\cos^2 x - (\cos^2\alpha - \sin^2 x) = \cos^2 x - \cos^2\alpha + \sin^2 x$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$(\cos^2 x + \sin^2 x) - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Таким образом, значение исходного выражения равно $\sin^2\alpha$. Так как это выражение не содержит переменной $x$, его значение от $x$ не зависит, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно $\sin^2\alpha$, оно не зависит от $x$.

4.172. Упростите выражение $\frac{\sin^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} + \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{1 + \operatorname{tg}^2 \varphi} - \sin \varphi$.

В условии задачи, скорее всего, содержится опечатка. В знаменателе второй дроби вместо $1 + \text{tg}^2 \varphi$ должно быть $1 - \text{tg}^2 \varphi$. При $1 + \text{tg}^2 \varphi$ выражение не упрощается до простого вида. Ниже приведено решение для исправленного выражения:

$ \frac{\sin^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} + \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{1 - \text{tg}^2 \varphi} - \sin \varphi $

1. Упростим второе слагаемое. Для этого представим тангенс как отношение синуса к косинусу и упростим знаменатель:

$ \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{1 - \text{tg}^2 \varphi} = \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{1 - \frac{\sin^2 \varphi}{\cos^2 \varphi}} = \frac{\sin \varphi + \cos \varphi}{\frac{\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi}{\cos^2 \varphi}} $

Теперь "перевернем" дробь в знаменателе и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ \frac{(\sin \varphi + \cos \varphi)\cos^2 \varphi}{\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi} = \frac{(\sin \varphi + \cos \varphi)\cos^2 \varphi}{(\cos \varphi - \sin \varphi)(\cos \varphi + \sin \varphi)} $

Сократим одинаковые множители $(\sin \varphi + \cos \varphi)$:

$ \frac{\cos^2 \varphi}{\cos \varphi - \sin \varphi} $

Изменим знак в знаменателе, вынеся минус за дробь:

$ -\frac{\cos^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} $

2. Подставим упрощенное слагаемое обратно в исходное выражение:

$ \frac{\sin^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} - \frac{\cos^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} - \sin \varphi $

3. Объединим первые две дроби, так как у них одинаковый знаменатель:

$ \frac{\sin^2 \varphi - \cos^2 \varphi}{\sin \varphi - \cos \varphi} - \sin \varphi $

4. Применим формулу разности квадратов к числителю первой дроби:

$ \frac{(\sin \varphi - \cos \varphi)(\sin \varphi + \cos \varphi)}{\sin \varphi - \cos \varphi} - \sin \varphi $

5. Сократим дробь на $(\sin \varphi - \cos \varphi)$:

$ (\sin \varphi + \cos \varphi) - \sin \varphi $

6. Приведем подобные слагаемые:

$ \sin \varphi + \cos \varphi - \sin \varphi = \cos \varphi $

Ответ: $ \cos \varphi $.

4.173. Докажите тождество $tg^3 \varphi + tg^2 \varphi + tg\varphi + 1 - \frac{\sin \varphi}{\cos^3 \varphi} = \frac{1}{\cos^2 \varphi}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем первые четыре слагаемых и вынесем общие множители за скобки:

$\text{tg}^3\varphi + \text{tg}^2\varphi + \text{tg}\varphi + 1 - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = (\text{tg}^3\varphi + \text{tg}^2\varphi) + (\text{tg}\varphi + 1) - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = \text{tg}^2\varphi(\text{tg}\varphi + 1) + 1(\text{tg}\varphi + 1) - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Теперь вынесем общий множитель $(\text{tg}\varphi + 1)$ за скобки:

$(\text{tg}^2\varphi + 1)(\text{tg}\varphi + 1) - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\varphi = \frac{1}{\cos^2\varphi}$. Подставим это выражение в нашу формулу:

$\frac{1}{\cos^2\varphi}(\text{tg}\varphi + 1) - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Раскроем скобки:

$\frac{\text{tg}\varphi}{\cos^2\varphi} + \frac{1}{\cos^2\varphi} - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Заменим $\text{tg}\varphi$ на отношение $\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$:

$\frac{\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}}{\cos^2\varphi} + \frac{1}{\cos^2\varphi} - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} = \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi} + \frac{1}{\cos^2\varphi} - \frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$

Сократим подобные слагаемые $\frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$ и $-\frac{\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$:

$\frac{1}{\cos^2\varphi}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного выражения. Таким образом, тождество доказано.

$\frac{1}{\cos^2\varphi} = \frac{1}{\cos^2\varphi}$

Ответ: Тождество доказано.