Страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.137. Упростите выражения:

1) $\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x};$

2) $\frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y};$

3) $\frac{2 \sin y - \sin 2y}{2 \sin y + \sin 2y};$

4) $\frac{\text{tg } 2y + \text{tg } y}{\text{tg } 2y - \text{tg } y};$

5) $\frac{1}{\text{tg } 2x \text{tg } x + 1};$

6) $\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\sin (x + y) - \sin (x - y)}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$, разделим числитель и знаменатель на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$). Получим: $\frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}} = \frac{\operatorname{tg} x - 1}{\operatorname{tg} x + 1}$. Поскольку $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, мы можем переписать выражение в виде $\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})}{1 + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})}$. Это формула тангенса разности $\operatorname{tg}(A - B)$. Следовательно, выражение равно $\operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{4})$. Ответ: $\operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{4})$

2) Для выражения $\frac{\sin x + \sin y}{\cos x + \cos y}$ применим формулы преобразования суммы в произведение. Для числителя: $\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$. Для знаменателя: $\cos x + \cos y = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$. Подставив эти формулы в исходное выражение, получим: $\frac{2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}{2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}$. Сократив общие множители $2$ и $\cos(\frac{x-y}{2})$, получим $\frac{\sin(\frac{x+y}{2})}{\cos(\frac{x+y}{2})}$, что равно $\operatorname{tg}(\frac{x+y}{2})$. Ответ: $\operatorname{tg}(\frac{x+y}{2})$

3) В выражении $\frac{2\sin y - \sin 2y}{2\sin y + \sin 2y}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2\sin y \cos y$. Выражение примет вид: $\frac{2\sin y - 2\sin y \cos y}{2\sin y + 2\sin y \cos y}$. Вынесем за скобки общий множитель $2\sin y$ в числителе и знаменателе: $\frac{2\sin y(1 - \cos y)}{2\sin y(1 + \cos y)}$. Сократим дробь на $2\sin y$: $\frac{1 - \cos y}{1 + \cos y}$. Теперь применим формулы половинного угла: $1 - \cos y = 2\sin^2(\frac{y}{2})$ и $1 + \cos y = 2\cos^2(\frac{y}{2})$. Получаем: $\frac{2\sin^2(\frac{y}{2})}{2\cos^2(\frac{y}{2})} = \operatorname{tg}^2(\frac{y}{2})$. Ответ: $\operatorname{tg}^2(\frac{y}{2})$

4) Рассмотрим выражение $\frac{\operatorname{tg}2y + \operatorname{tg}y}{\operatorname{tg}2y - \operatorname{tg}y}$. Заменим тангенсы через отношение синуса к косинусу. В числителе: $\frac{\sin 2y}{\cos 2y} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin 2y \cos y + \cos 2y \sin y}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin(2y+y)}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin 3y}{\cos 2y \cos y}$. В знаменателе: $\frac{\sin 2y}{\cos 2y} - \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin 2y \cos y - \cos 2y \sin y}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin(2y-y)}{\cos 2y \cos y} = \frac{\sin y}{\cos 2y \cos y}$. Разделив преобразованный числитель на знаменатель, получим: $\frac{\frac{\sin 3y}{\cos 2y \cos y}}{\frac{\sin y}{\cos 2y \cos y}} = \frac{\sin 3y}{\sin y}$. Ответ: $\frac{\sin 3y}{\sin y}$

5) Упростим выражение $\frac{1}{\operatorname{tg}2x\operatorname{tg}x + 1}$. Заменим тангенсы на отношение синуса к косинусу: $\frac{1}{\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\frac{\sin x}{\cos x} + 1} = \frac{1}{\frac{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}{\cos 2x\cos x}}$. Перевернув дробь, получим: $\frac{\cos 2x\cos x}{\cos 2x\cos x + \sin 2x\sin x}$. Знаменатель является формулой косинуса разности $\cos(A-B)$. Таким образом, $\cos 2x\cos x + \sin 2x\sin x = \cos(2x-x) = \cos x$. Выражение упрощается до $\frac{\cos 2x\cos x}{\cos x}$. Сократив на $\cos x$, получаем $\cos 2x$. Ответ: $\cos 2x$

6) В выражении $\frac{\sin(x+y) + \sin(x-y)}{\sin(x+y) - \sin(x-y)}$ раскроем синусы суммы и разности. Числитель: $(\sin x \cos y + \cos x \sin y) + (\sin x \cos y - \cos x \sin y) = 2\sin x \cos y$. Знаменатель: $(\sin x \cos y + \cos x \sin y) - (\sin x \cos y - \cos x \sin y) = 2\cos x \sin y$. Исходное выражение принимает вид: $\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \sin y}$. После сокращения на 2, получаем $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} y$. Ответ: $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y$

4.138. Вычислите:

1) $\sin 15^\circ \cos 7^\circ - \cos 11^\circ \cos 79^\circ - \sin 4^\circ \sin 86^\circ;$

2) $\cos 17^\circ \cos 73^\circ - \cos 13^\circ \cos 21^\circ - \cos 4^\circ \cos 86^\circ.$

1) Рассмотрим выражение: $ \sin15^\circ \cos7^\circ - \cos11^\circ \cos79^\circ - \sin4^\circ \sin86^\circ $.
Для его упрощения воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
$ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $
$ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $
$ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $

Применим эти формулы к каждому члену выражения:
1. $ \sin15^\circ \cos7^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ+7^\circ) + \sin(15^\circ-7^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ) $
2. $ \cos11^\circ \cos79^\circ = \frac{1}{2}(\cos(79^\circ-11^\circ) + \cos(79^\circ+11^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos68^\circ + \cos90^\circ) $. Так как $ \cos90^\circ = 0 $, получаем $ \frac{1}{2}\cos68^\circ $.
3. $ \sin4^\circ \sin86^\circ = \frac{1}{2}(\cos(86^\circ-4^\circ) - \cos(86^\circ+4^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos82^\circ - \cos90^\circ) $. Так как $ \cos90^\circ = 0 $, получаем $ \frac{1}{2}\cos82^\circ $.

Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$ \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ) - \frac{1}{2}\cos68^\circ - \frac{1}{2}\cos82^\circ = \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ - \cos68^\circ - \cos82^\circ) $

Теперь используем формулы приведения: $ \cos\alpha = \sin(90^\circ-\alpha) $.
$ \cos68^\circ = \sin(90^\circ-68^\circ) = \sin22^\circ $
$ \cos82^\circ = \sin(90^\circ-82^\circ) = \sin8^\circ $

Подставим эти значения в наше выражение:
$ \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ - \sin22^\circ - \sin8^\circ) = \frac{1}{2}(0) = 0 $

Ответ: 0

2) Рассмотрим выражение: $ \cos17^\circ \cos73^\circ - \cos13^\circ \cos21^\circ - \cos4^\circ \cos86^\circ $.
Для его упрощения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:
$ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $

Применим эту формулу к каждому члену выражения:
1. $ \cos17^\circ \cos73^\circ = \frac{1}{2}(\cos(73^\circ-17^\circ) + \cos(73^\circ+17^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos56^\circ + \cos90^\circ) = \frac{1}{2}\cos56^\circ $
2. $ \cos13^\circ \cos21^\circ = \frac{1}{2}(\cos(21^\circ-13^\circ) + \cos(21^\circ+13^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos8^\circ + \cos34^\circ) $
3. $ \cos4^\circ \cos86^\circ = \frac{1}{2}(\cos(86^\circ-4^\circ) + \cos(86^\circ+4^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos82^\circ + \cos90^\circ) = \frac{1}{2}\cos82^\circ $

Подставим полученные выражения обратно в исходное:
$ \frac{1}{2}\cos56^\circ - \frac{1}{2}(\cos8^\circ + \cos34^\circ) - \frac{1}{2}\cos82^\circ = \frac{1}{2}(\cos56^\circ - \cos8^\circ - \cos34^\circ - \cos82^\circ) $

Сгруппируем слагаемые в скобках и применим формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
$ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \frac{1}{2}[(\cos56^\circ - \cos34^\circ) - (\cos8^\circ + \cos82^\circ)] $
$ \cos56^\circ - \cos34^\circ = -2\sin\frac{56^\circ+34^\circ}{2}\sin\frac{56^\circ-34^\circ}{2} = -2\sin45^\circ\sin11^\circ = -2\frac{\sqrt{2}}{2}\sin11^\circ = -\sqrt{2}\sin11^\circ $
$ \cos8^\circ + \cos82^\circ = 2\cos\frac{8^\circ+82^\circ}{2}\cos\frac{82^\circ-8^\circ}{2} = 2\cos45^\circ\cos37^\circ = 2\frac{\sqrt{2}}{2}\cos37^\circ = \sqrt{2}\cos37^\circ $

Подставим результаты в выражение:
$ \frac{1}{2}[-\sqrt{2}\sin11^\circ - \sqrt{2}\cos37^\circ] = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin11^\circ + \cos37^\circ) $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin11^\circ + \cos37^\circ) $

4.139. Напишите в виде произведения:

1) $\sqrt{2} - 2\cos\beta$;

2) $0.5 + \sin\beta$.

1) Для того чтобы преобразовать выражение $\sqrt{2-2\cos\beta}$ в произведение, выполним следующие шаги.
Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки под знаком корня:
$\sqrt{2(1-\cos\beta)}$
Далее используем формулу понижения степени (или следствие из формулы косинуса двойного угла): $1-\cos\beta = 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Подставим это тождество в наше выражение:
$\sqrt{2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \sqrt{4\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Теперь извлечем квадратный корень. Важно помнить, что $\sqrt{a^2}=|a|$, поэтому:
$\sqrt{4\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)} = 2\left|\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right|$
Знак модуля необходим, так как значение $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$ может быть отрицательным, а результат извлечения арифметического квадратного корня всегда неотрицателен.
Ответ: $2\left|\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right|$

2) Чтобы представить сумму $0,5+\sin\beta$ в виде произведения, представим число 0,5 как значение тригонометрической функции. Мы знаем, что $0,5 = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
Заменим 0,5 в исходном выражении:
$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\beta$
Теперь применим формулу для преобразования суммы синусов в произведение:
$\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$
В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \beta$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\beta}{2}\right)$
Упростим аргументы синуса и косинуса:
$2\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\beta}{2}\right)$
Ответ: $2\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\beta}{2}\right)$

4.140. Докажите тождества:

1) $1 + 2 \cos 2x = 4 \cos \left(\frac{\pi}{6} + x\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right)$;

2) $\sqrt{3} - 2 \sin 2y = 4 \sin \left(\frac{\pi}{6} - y\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} + y\right)$;

3) $1 - 4 \sin^2 x = 4 \sin \left(\frac{\pi}{6} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{6} + x\right)$;

4) $3 - 4 \cos^2 y = -4 \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \sin \left(\frac{\pi}{6} - y\right)$.

1) Для доказательства тождества $1 + 2 \cos 2x = 4 \cos(\frac{\pi}{6} + x) \cos(\frac{\pi}{6} - x)$ преобразуем его правую часть.
Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.
$4 \cos(\frac{\pi}{6} + x) \cos(\frac{\pi}{6} - x) = 2 \cdot \left(2 \cos(\frac{\pi}{6} + x) \cos(\frac{\pi}{6} - x)\right)$
$= 2 \left[ \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \left(\frac{\pi}{6} - x\right)\right) + \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + x\right) + \left(\frac{\pi}{6} - x\right)\right) \right]$
$= 2 \left( \cos(2x) + \cos(\frac{2\pi}{6}) \right) = 2 \left( \cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{3}) \right)$.
Поскольку $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, имеем:
$2 \left( \cos(2x) + \frac{1}{2} \right) = 2 \cos(2x) + 1$.
Таким образом, $1 + 2 \cos 2x = 1 + 2 \cos 2x$. Правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\sqrt{3} - 2 \sin 2y = 4 \sin(\frac{\pi}{6} - y) \cos(\frac{\pi}{6} + y)$ преобразуем его правую часть.
Используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
$4 \sin(\frac{\pi}{6} - y) \cos(\frac{\pi}{6} + y) = 2 \cdot \left(2 \sin(\frac{\pi}{6} - y) \cos(\frac{\pi}{6} + y)\right)$
$= 2 \left[ \sin\left(\left(\frac{\pi}{6} - y\right) + \left(\frac{\pi}{6} + y\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\pi}{6} - y\right) - \left(\frac{\pi}{6} + y\right)\right) \right]$
$= 2 \left( \sin(\frac{2\pi}{6}) + \sin(-2y) \right) = 2 \left( \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(2y) \right)$.
Поскольку $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, имеем:
$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(2y) \right) = \sqrt{3} - 2 \sin(2y)$.
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $1 - 4 \sin^2 x = 4 \sin(\frac{\pi}{6} - x) \sin(\frac{\pi}{6} + x)$ преобразуем его правую часть.
Используем формулу произведения синусов: $\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = x$.
$4 \sin(\frac{\pi}{6} - x) \sin(\frac{\pi}{6} + x) = 4 \left( \sin^2\frac{\pi}{6} - \sin^2 x \right)$.
Поскольку $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то $\sin^2\frac{\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Подставляем это значение в выражение:
$4 \left( \frac{1}{4} - \sin^2 x \right) = 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 \sin^2 x = 1 - 4 \sin^2 x$.
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $3 - 4 \cos^2 y = -4 \sin(\frac{\pi}{6} + y) \sin(\frac{\pi}{6} - y)$ преобразуем его правую часть.
Из предыдущего пункта известно, что $4 \sin(\frac{\pi}{6} + y) \sin(\frac{\pi}{6} - y) = 1 - 4 \sin^2 y$.
Тогда правая часть нашего тождества равна:
$-4 \sin(\frac{\pi}{6} + y) \sin(\frac{\pi}{6} - y) = -(1 - 4 \sin^2 y) = 4 \sin^2 y - 1$.
Теперь преобразуем это выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$.
$4(1 - \cos^2 y) - 1 = 4 - 4 \cos^2 y - 1 = 3 - 4 \cos^2 y$.
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

4.141. Упростите выражения:

1) $\cos^2\alpha+\cos^2\beta-\cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta);$

2) $\sin^2\varphi+\sin^2\psi+\cos(\varphi+\psi)\cos(\varphi-\psi);$

3) $\cos^2\left(\varphi-\frac{5\pi}{8}\right)-\sin^2\left(\varphi-\frac{5\pi}{8}\right)$

1) Для упрощения выражения $ \cos^2\alpha+\cos^2\beta-\cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta) $ воспользуемся формулой произведения косинусов, которая имеет следующий частный случай: $ \cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta - (\cos^2\alpha - \sin^2\beta) $
Раскроем скобки:
$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta - \cos^2\alpha + \sin^2\beta $
Сократим подобные слагаемые ($ \cos^2\alpha $ и $ -\cos^2\alpha $):
$ \cos^2\beta + \sin^2\beta $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $:
$ \cos^2\beta + \sin^2\beta = 1 $
Ответ: $ 1 $

2) Для упрощения выражения $ \sin^2\phi+\sin^2\psi+\cos(\phi+\psi)\cos(\phi-\psi) $ так же, как и в предыдущем пункте, используем формулу $ \cos(\phi+\psi)\cos(\phi-\psi) = \cos^2\phi - \sin^2\psi $.
Подставим ее в выражение:
$ \sin^2\phi+\sin^2\psi + (\cos^2\phi - \sin^2\psi) $
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$ \sin^2\phi+\sin^2\psi + \cos^2\phi - \sin^2\psi = \sin^2\phi + \cos^2\phi $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, получаем:
$ \sin^2\phi + \cos^2\phi = 1 $
Ответ: $ 1 $

3) Выражение $ \cos^2(\phi - \frac{5\pi}{8}) - \sin^2(\phi - \frac{5\pi}{8}) $ представляет собой правую часть формулы косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x $.
В данном случае $ x = \phi - \frac{5\pi}{8} $.
Применим эту формулу:
$ \cos^2(\phi - \frac{5\pi}{8}) - \sin^2(\phi - \frac{5\pi}{8}) = \cos(2(\phi - \frac{5\pi}{8})) $
Упростим аргумент косинуса:
$ 2(\phi - \frac{5\pi}{8}) = 2\phi - \frac{10\pi}{8} = 2\phi - \frac{5\pi}{4} $
Таким образом, выражение равно $ \cos(2\phi - \frac{5\pi}{4}) $.
Преобразуем аргумент, используя формулы приведения. Представим $ \frac{5\pi}{4} $ как $ \pi + \frac{\pi}{4} $:
$ \cos(2\phi - (\pi + \frac{\pi}{4})) = \cos(2\phi - \frac{\pi}{4} - \pi) $
Используем формулу $ \cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha) $:
$ \cos((2\phi - \frac{\pi}{4}) - \pi) = -\cos(2\phi - \frac{\pi}{4}) $
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $, можно записать ответ и в виде $ -\cos(\frac{\pi}{4} - 2\phi) $.
Ответ: $ -\cos(2\phi - \frac{\pi}{4}) $