Номер 4.141, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.141. Упростите выражения:

1) $\cos^2\alpha+\cos^2\beta-\cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta);$

2) $\sin^2\varphi+\sin^2\psi+\cos(\varphi+\psi)\cos(\varphi-\psi);$

3) $\cos^2\left(\varphi-\frac{5\pi}{8}\right)-\sin^2\left(\varphi-\frac{5\pi}{8}\right)$

1) Для упрощения выражения $ \cos^2\alpha+\cos^2\beta-\cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta) $ воспользуемся формулой произведения косинусов, которая имеет следующий частный случай: $ \cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta - (\cos^2\alpha - \sin^2\beta) $
Раскроем скобки:
$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta - \cos^2\alpha + \sin^2\beta $
Сократим подобные слагаемые ($ \cos^2\alpha $ и $ -\cos^2\alpha $):
$ \cos^2\beta + \sin^2\beta $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $:
$ \cos^2\beta + \sin^2\beta = 1 $
Ответ: $ 1 $

2) Для упрощения выражения $ \sin^2\phi+\sin^2\psi+\cos(\phi+\psi)\cos(\phi-\psi) $ так же, как и в предыдущем пункте, используем формулу $ \cos(\phi+\psi)\cos(\phi-\psi) = \cos^2\phi - \sin^2\psi $.
Подставим ее в выражение:
$ \sin^2\phi+\sin^2\psi + (\cos^2\phi - \sin^2\psi) $
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$ \sin^2\phi+\sin^2\psi + \cos^2\phi - \sin^2\psi = \sin^2\phi + \cos^2\phi $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, получаем:
$ \sin^2\phi + \cos^2\phi = 1 $
Ответ: $ 1 $

3) Выражение $ \cos^2(\phi - \frac{5\pi}{8}) - \sin^2(\phi - \frac{5\pi}{8}) $ представляет собой правую часть формулы косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x $.
В данном случае $ x = \phi - \frac{5\pi}{8} $.
Применим эту формулу:
$ \cos^2(\phi - \frac{5\pi}{8}) - \sin^2(\phi - \frac{5\pi}{8}) = \cos(2(\phi - \frac{5\pi}{8})) $
Упростим аргумент косинуса:
$ 2(\phi - \frac{5\pi}{8}) = 2\phi - \frac{10\pi}{8} = 2\phi - \frac{5\pi}{4} $
Таким образом, выражение равно $ \cos(2\phi - \frac{5\pi}{4}) $.
Преобразуем аргумент, используя формулы приведения. Представим $ \frac{5\pi}{4} $ как $ \pi + \frac{\pi}{4} $:
$ \cos(2\phi - (\pi + \frac{\pi}{4})) = \cos(2\phi - \frac{\pi}{4} - \pi) $
Используем формулу $ \cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha) $:
$ \cos((2\phi - \frac{\pi}{4}) - \pi) = -\cos(2\phi - \frac{\pi}{4}) $
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-x) = \cos(x) $, можно записать ответ и в виде $ -\cos(\frac{\pi}{4} - 2\phi) $.
Ответ: $ -\cos(2\phi - \frac{\pi}{4}) $