Номер 4.135, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.135. Представьте в виде произведения:

1) $cotgx+cotgy$;

2) $cotgx-cotgy$;

3) $1+tgx$;

4) $1+cotgx$.

1) ctgx + ctgy

Для того чтобы представить сумму котангенсов в виде произведения, воспользуемся их определением через синус и косинус: $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $, $ \text{ctg}y = \frac{\cos y}{\sin y} $.

Подставим эти выражения в исходную сумму: $ \text{ctg}x + \text{ctg}y = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin x \sin y $: $ \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\cos x \sin y + \cos y \sin x}{\sin x \sin y} $

В числителе мы получили формулу синуса суммы двух углов: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Таким образом, выражение преобразуется к виду: $ \frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y} $

Это и есть представление исходной суммы в виде произведения (частного).

Ответ: $ \frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y} $

2) ctgx - ctgy

Действуем аналогично первому пункту. Запишем котангенсы через синусы и косинусы: $ \text{ctg}x - \text{ctg}y = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos y}{\sin y} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin x \sin y $: $ \frac{\cos x \sin y - \cos y \sin x}{\sin x \sin y} $

Числитель представляет собой формулу синуса разности двух углов: $ \sin(y-x) = \sin y \cos x - \cos y \sin x $.

Следовательно, получаем: $ \frac{\sin(y-x)}{\sin x \sin y} $

Ответ: $ \frac{\sin(y-x)}{\sin x \sin y} $

3) 1 + tgx

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $ 1 + \text{tg}x = 1 + \frac{\sin x}{\cos x} $

Приведем к общему знаменателю $ \cos x $: $ \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} $

Теперь преобразуем сумму в числителе $ \cos x + \sin x $. Для этого воспользуемся методом вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобки: $ \cos x + \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) $

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, мы можем переписать выражение в скобках: $ \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\cos x + \sin(\frac{\pi}{4})\sin x) $

Это соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $. Следовательно, $ \cos x + \sin x = \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) $.

Подставим полученное выражение обратно в дробь: $ \frac{\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\cos x} $

Замечание: можно также использовать тот факт, что $ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{\pi}{4}) $, поэтому другой верный вариант ответа: $ \frac{\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})}{\cos x} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\cos x} $

4) 1 + ctgx

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ 1 + \text{ctg}x = 1 + \frac{\cos x}{\sin x} $

Приведем к общему знаменателю $ \sin x $: $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} $

Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, сумма $ \sin x + \cos x $ может быть преобразована в произведение: $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) $.

Подставим это преобразование в наше выражение: $ \frac{\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\sin x} $

Замечание: используя эквивалентность $ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{\pi}{4}) $, можно записать ответ в виде $ \frac{\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})}{\sin x} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\sin x} $