Номер 4.128, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.128. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 47^\circ - \cos 15^\circ $

2) $ \cos 58^\circ + \cos 24^\circ $

3) $ \sin 70^\circ + \sin 30^\circ $

4) $ \sin 17^\circ - \sin 35^\circ $

Для преобразования тригонометрических сумм и разностей в произведения используются следующие формулы:

• Сумма синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
• Разность синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
• Сумма косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
• Разность косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Применим эти формулы для решения каждого из пунктов.

1) $\cos47^\circ - \cos15^\circ$

Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В данном случае $\alpha = 47^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos47^\circ - \cos15^\circ = -2\sin\frac{47^\circ+15^\circ}{2}\sin\frac{47^\circ-15^\circ}{2} = -2\sin\frac{62^\circ}{2}\sin\frac{32^\circ}{2} = -2\sin31^\circ\sin16^\circ$.

Ответ: $-2\sin31^\circ\sin16^\circ$.

2) $\cos58^\circ + \cos24^\circ$

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = 58^\circ$ и $\beta = 24^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos58^\circ + \cos24^\circ = 2\cos\frac{58^\circ+24^\circ}{2}\cos\frac{58^\circ-24^\circ}{2} = 2\cos\frac{82^\circ}{2}\cos\frac{34^\circ}{2} = 2\cos41^\circ\cos17^\circ$.

Ответ: $2\cos41^\circ\cos17^\circ$.

3) $\sin70^\circ + \sin30^\circ$

Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin70^\circ + \sin30^\circ = 2\sin\frac{70^\circ+30^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-30^\circ}{2} = 2\sin\frac{100^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ}{2} = 2\sin50^\circ\cos20^\circ$.

Ответ: $2\sin50^\circ\cos20^\circ$.

4) $\sin17^\circ - \sin35^\circ$

Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Здесь $\alpha = 17^\circ$ и $\beta = 35^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin17^\circ - \sin35^\circ = 2\sin\frac{17^\circ-35^\circ}{2}\cos\frac{17^\circ+35^\circ}{2} = 2\sin\frac{-18^\circ}{2}\cos\frac{52^\circ}{2} = 2\sin(-9^\circ)\cos26^\circ$.

Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$, выражение можно упростить:

$2\sin(-9^\circ)\cos26^\circ = -2\sin9^\circ\cos26^\circ$.

Ответ: $-2\sin9^\circ\cos26^\circ$.