Номер 4.124, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.124. Найдите:

1) cos2α, если $\frac{\cos \alpha - 2 \sin \alpha}{\sin \alpha - 2 \cos \alpha} = -0,5;$

2) sin2α, если $\frac{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}{2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha} = -2 .$

1) Дано уравнение $\frac{\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 2\cos\alpha} = -0,5$.

Для решения этой задачи сначала найдем значение $\tan\alpha$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на $\cos\alpha$, предполагая, что $\cos\alpha \neq 0$. Если бы $\cos\alpha = 0$, то $\sin\alpha = \pm 1$, и левая часть уравнения была бы равна $\frac{-2\sin\alpha}{\sin\alpha} = -2$, что не равно $-0,5$. Следовательно, наше предположение верно.

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - 2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 2\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = -0,5$

$\frac{1 - 2\tan\alpha}{\tan\alpha - 2} = -0,5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\tan\alpha$:

$1 - 2\tan\alpha = -0,5(\tan\alpha - 2)$

$1 - 2\tan\alpha = -0,5\tan\alpha + 1$

$1 - 1 = 2\tan\alpha - 0,5\tan\alpha$

$0 = 1,5\tan\alpha$

Отсюда получаем, что $\tan\alpha = 0$.

Теперь необходимо найти $\cos(2\alpha)$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, выраженной через тангенс:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$

Подставим найденное значение $\tan\alpha = 0$ в эту формулу:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - 0^2}{1 + 0^2} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $1$.

2) Дано уравнение $\frac{\cos\alpha + 2\sin\alpha}{2\sin\alpha - 3\cos\alpha} = -2$.

Аналогично первому пункту, найдем сначала значение $\tan\alpha$. Разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$, убедившись, что $\cos\alpha \neq 0$. Если бы $\cos\alpha = 0$, то $\sin\alpha = \pm 1$, и левая часть уравнения была бы равна $\frac{2\sin\alpha}{2\sin\alpha} = 1$, что не равно $-2$.

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + 2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 3\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = -2$

$\frac{1 + 2\tan\alpha}{2\tan\alpha - 3} = -2$

Решим это уравнение относительно $\tan\alpha$:

$1 + 2\tan\alpha = -2(2\tan\alpha - 3)$

$1 + 2\tan\alpha = -4\tan\alpha + 6$

$2\tan\alpha + 4\tan\alpha = 6 - 1$

$6\tan\alpha = 5$

$\tan\alpha = \frac{5}{6}$

Теперь найдем $\sin(2\alpha)$. Используем формулу синуса двойного угла через тангенс:

$\sin(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$

Подставим найденное значение $\tan\alpha = \frac{5}{6}$:

$\sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 + (\frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{10}{6}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{36}{36} + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{61}{36}}$

$\sin(2\alpha) = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{61} = \frac{5 \cdot 12}{61} = \frac{60}{61}$

Ответ: $\frac{60}{61}$.