Номер 4.123, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.123. Найдите значение выражения $\frac{2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=3$.

Для нахождения значения выражения можно использовать один из двух основных способов. Рассмотрим оба.

Способ 1: Использование универсальной тригонометрической подстановки
Выразим $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ через тангенс половинного угла $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$, используя следующие формулы:
$\sin\alpha = \frac{2\text{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$
$\cos\alpha = \frac{1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$
По условию, $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 3$. Подставим это значение в формулы:
$\sin\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 3^2} = \frac{6}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$\cos\alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$
Теперь подставим найденные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в исходное выражение:
$\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{4\sin\alpha + 5\cos\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{3}{5} - 3 \cdot (-\frac{4}{5})}{4 \cdot \frac{3}{5} + 5 \cdot (-\frac{4}{5})} = \frac{\frac{6}{5} + \frac{12}{5}}{\frac{12}{5} - \frac{20}{5}} = \frac{\frac{18}{5}}{-\frac{8}{5}} = \frac{18}{5} \cdot (-\frac{5}{8}) = -\frac{18}{8} = -\frac{9}{4}$.

Способ 2: Преобразование выражения к тангенсу
Разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это действие допустимо, поскольку если предположить, что $\cos\alpha = 0$, то $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для целого $k$. Тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, и $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$ будет равен $1$ или $-1$, что противоречит условию $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 3$. Следовательно, $\cos\alpha \neq 0$.
$\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{4\sin\alpha + 5\cos\alpha} = \frac{\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{4\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{5\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\text{tg}\alpha - 3}{4\text{tg}\alpha + 5}$.
Теперь найдем значение $\text{tg}\alpha$, используя формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}\alpha = \text{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{2\text{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$.
Подставим данное в условии значение $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 3$:
$\text{tg}\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.
Наконец, подставим найденное значение $\text{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$ в преобразованное выражение:
$\frac{2(-\frac{3}{4}) - 3}{4(-\frac{3}{4}) + 5} = \frac{-\frac{6}{4} - 3}{-3 + 5} = \frac{-\frac{3}{2} - \frac{6}{2}}{2} = \frac{-\frac{9}{2}}{2} = -\frac{9}{4}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $-\frac{9}{4}$.