Практическая работа, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

В учебниках, изданных ранее, часто встречаются обозначения

$sec \alpha = \frac{1}{\cos\alpha}$ (секанс) и $cosec \alpha = \frac{1}{\sin\alpha}$ (косеканс). Преобразуйте сумму в произведение:

1) $sec \alpha \pm sec\beta$;

2) $cosec \alpha \pm cosec\beta$.

1) sec α ± secβ;

Для преобразования суммы и разности секансов в произведение, воспользуемся определением секанса $sec\ x = \frac{1}{\cos x}$ и формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

Преобразование суммы секансов:

$sec\ \alpha + sec\ \beta = \frac{1}{\cos\alpha} + \frac{1}{\cos\beta}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{\cos\beta + \cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}$

Применяем к числителю формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\frac{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\alpha\cos\beta}$

Преобразование разности секансов:

$sec\ \alpha - sec\ \beta = \frac{1}{\cos\alpha} - \frac{1}{\cos\beta}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{\cos\beta - \cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}$

Применяем к числителю формулу разности косинусов $\cos\beta - \cos\alpha = -2\sin\frac{\beta+\alpha}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\alpha\cos\beta}$

Ответ: $sec\ \alpha + sec\ \beta = \frac{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\alpha\cos\beta}$; $sec\ \alpha - sec\ \beta = \frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\alpha\cos\beta}$

2) cosec α ± cosecβ.

Аналогично, для преобразования суммы и разности косекансов в произведение, воспользуемся определением косеканса $cosec\ x = \frac{1}{\sin x}$ и соответствующими формулами.

Преобразование суммы косекансов:

$cosec\ \alpha + cosec\ \beta = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1}{\sin\beta}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin\beta + \sin\alpha}{\sin\alpha\sin\beta}$

Применяем к числителю формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\alpha\sin\beta}$

Преобразование разности косекансов:

$cosec\ \alpha - cosec\ \beta = \frac{1}{\sin\alpha} - \frac{1}{\sin\beta}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin\beta - \sin\alpha}{\sin\alpha\sin\beta}$

Применяем к числителю формулу разности синусов $\sin\beta - \sin\alpha = 2\sin\frac{\beta-\alpha}{2}\cos\frac{\beta+\alpha}{2}$:

$\frac{2\sin\frac{\beta-\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\alpha\sin\beta}$

Ответ: $cosec\ \alpha + cosec\ \beta = \frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\alpha\sin\beta}$; $cosec\ \alpha - cosec\ \beta = \frac{2\sin\frac{\beta-\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\alpha\sin\beta}$