Номер 4.126, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.126. Докажите тождества:

1) $4\sin\alpha \cos^3\alpha - 2\sin2\alpha \sin^2\alpha = \sin4\alpha;$

2) $\frac{\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}^2x} + \frac{\operatorname{ctg}x}{1+\operatorname{ctg}^2x} = \sin2x;$

3) $\operatorname{tg}^4\alpha(8\cos^2(\pi-\alpha)-\cos(\pi+4\alpha)-1)=8\sin^4\alpha;$

4) $2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)\left(1-\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}.$

1)

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $ для второго слагаемого:

$ 4\sin\alpha \cos^3\alpha - 2\sin(2\alpha) \sin^2\alpha = 4\sin\alpha \cos^3\alpha - 2(2\sin\alpha\cos\alpha) \sin^2\alpha = 4\sin\alpha \cos^3\alpha - 4\sin^3\alpha\cos\alpha $.

Вынесем общий множитель $ 4\sin\alpha\cos\alpha $ за скобки:

$ 4\sin\alpha\cos\alpha(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) $.

Узнаем в выражении формулы двойного угла: $ 2\sin(2\alpha) = 4\sin\alpha\cos\alpha $ и $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $. Подставим их:

$ (2\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha)(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $.

Снова применяем формулу синуса двойного угла, но теперь для угла $ 2\alpha $:

$ 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin(4\alpha) $.

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества, используя основные тригонометрические тождества $ 1 + \text{tg}^2x = \sec^2x = \frac{1}{\cos^2x} $ и $ 1 + \text{ctg}^2x = \csc^2x = \frac{1}{\sin^2x} $:

$ \frac{\text{tg}x}{1 + \text{tg}^2x} + \frac{\text{ctg}x}{1 + \text{ctg}^2x} = \frac{\text{tg}x}{\sec^2x} + \frac{\text{ctg}x}{\csc^2x} = \text{tg}x \cdot \cos^2x + \text{ctg}x \cdot \sin^2x $.

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2x + \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin^2x = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x\cos x $.

По формуле синуса двойного угла $ 2\sin x\cos x = \sin(2x) $.

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Упростим левую часть тождества. Сначала используем формулы приведения для аргументов тригонометрических функций:

$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $, следовательно, $ \cos^2(\pi - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $.

$ \cos(\pi + 4\alpha) = -\cos(4\alpha) $.

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$ \text{tg}^4\alpha(8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = \text{tg}^4\alpha(8\cos^2\alpha - (-\cos(4\alpha)) - 1) = \text{tg}^4\alpha(8\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1) $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла дважды, чтобы выразить $ \cos(4\alpha) $:

$ \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 = 2(2\cos^2\alpha - 1)^2 - 1 = 2(4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1) - 1 = 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1 $.

Подставим это в выражение в скобках:

$ 8\cos^2\alpha + (8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1) - 1 = 8\cos^4\alpha $.

Теперь все выражение левой части равно:

$ \text{tg}^4\alpha \cdot (8\cos^4\alpha) = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} \cdot 8\cos^4\alpha = 8\sin^4\alpha $.

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. Упростим по отдельности множители в скобках.

Выражение в первой скобке: $ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Выражение во второй скобке: $ 1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)} = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)} $. По формуле косинуса двойного угла $ \cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2) = \cos\alpha $. Значит, $ 1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\alpha}{\cos^2(\alpha/2)} $.

Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$ 2\text{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot \left( \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} \right) \cdot \left( \frac{\cos\alpha}{\cos^2(\alpha/2)} \right) $.

Сократим $ \cos\alpha $:

$ 2\text{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha/2)} $.

Теперь выразим $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} $ и $ \sin\alpha $ через синус и косинус половинного угла: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} $ и $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $.

$ 2 \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha/2)} $.

После сокращения общих множителей $ 2 $ и $ \sin(\alpha/2) $ получаем:

$ \frac{1}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha/2)} = \frac{1}{\cos^4(\alpha/2)} $.

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.