Страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.124. Найдите:

1) cos2α, если $\frac{\cos \alpha - 2 \sin \alpha}{\sin \alpha - 2 \cos \alpha} = -0,5;$

2) sin2α, если $\frac{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}{2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha} = -2 .$

1) Дано уравнение $\frac{\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 2\cos\alpha} = -0,5$.

Для решения этой задачи сначала найдем значение $\tan\alpha$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на $\cos\alpha$, предполагая, что $\cos\alpha \neq 0$. Если бы $\cos\alpha = 0$, то $\sin\alpha = \pm 1$, и левая часть уравнения была бы равна $\frac{-2\sin\alpha}{\sin\alpha} = -2$, что не равно $-0,5$. Следовательно, наше предположение верно.

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - 2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 2\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = -0,5$

$\frac{1 - 2\tan\alpha}{\tan\alpha - 2} = -0,5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\tan\alpha$:

$1 - 2\tan\alpha = -0,5(\tan\alpha - 2)$

$1 - 2\tan\alpha = -0,5\tan\alpha + 1$

$1 - 1 = 2\tan\alpha - 0,5\tan\alpha$

$0 = 1,5\tan\alpha$

Отсюда получаем, что $\tan\alpha = 0$.

Теперь необходимо найти $\cos(2\alpha)$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, выраженной через тангенс:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$

Подставим найденное значение $\tan\alpha = 0$ в эту формулу:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - 0^2}{1 + 0^2} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $1$.

2) Дано уравнение $\frac{\cos\alpha + 2\sin\alpha}{2\sin\alpha - 3\cos\alpha} = -2$.

Аналогично первому пункту, найдем сначала значение $\tan\alpha$. Разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$, убедившись, что $\cos\alpha \neq 0$. Если бы $\cos\alpha = 0$, то $\sin\alpha = \pm 1$, и левая часть уравнения была бы равна $\frac{2\sin\alpha}{2\sin\alpha} = 1$, что не равно $-2$.

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + 2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 3\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = -2$

$\frac{1 + 2\tan\alpha}{2\tan\alpha - 3} = -2$

Решим это уравнение относительно $\tan\alpha$:

$1 + 2\tan\alpha = -2(2\tan\alpha - 3)$

$1 + 2\tan\alpha = -4\tan\alpha + 6$

$2\tan\alpha + 4\tan\alpha = 6 - 1$

$6\tan\alpha = 5$

$\tan\alpha = \frac{5}{6}$

Теперь найдем $\sin(2\alpha)$. Используем формулу синуса двойного угла через тангенс:

$\sin(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$

Подставим найденное значение $\tan\alpha = \frac{5}{6}$:

$\sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 + (\frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{10}{6}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{36}{36} + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{61}{36}}$

$\sin(2\alpha) = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{61} = \frac{5 \cdot 12}{61} = \frac{60}{61}$

Ответ: $\frac{60}{61}$.

4.125. Вычислите:

1) $8 \sin^2 \frac{15\pi}{16} \cdot \cos^2 \frac{17\pi}{16}$;

2) $\sin^4 \frac{23\pi}{12} - \cos^4 \frac{13\pi}{12}$;

3) $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8} + \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{8}$;

4) $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{8} + \operatorname{ctg} \frac{9\pi}{8}$;

5) $\sin^2 \frac{2\pi}{13} + \sin^2 \frac{11\pi}{26}$;

6) $\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \cos^2 \frac{7\pi}{17}$.

1) $8 \sin^2 \frac{15\pi}{16} \cdot \cos^2 \frac{17\pi}{16}$

Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя формулы приведения:

$\sin \frac{15\pi}{16} = \sin(\pi - \frac{\pi}{16}) = \sin \frac{\pi}{16}$

$\cos \frac{17\pi}{16} = \cos(\pi + \frac{\pi}{16}) = -\cos \frac{\pi}{16}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$8 \sin^2(\frac{\pi}{16}) \cdot (-\cos(\frac{\pi}{16}))^2 = 8 \sin^2 \frac{\pi}{16} \cos^2 \frac{\pi}{16}$

Перепишем выражение, вынеся квадрат за скобки:

$8 (\sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})^2 = 2 \cdot (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})^2$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$:

$2 \cdot (\sin(2 \cdot \frac{\pi}{16}))^2 = 2 \sin^2 \frac{\pi}{8}$

Теперь применим формулу понижения степени для синуса $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$2 \cdot \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8})}{2} = 1 - \cos \frac{\pi}{4}$

Зная, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем окончательный результат:

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $\sin^4 \frac{23\pi}{12} - \cos^4 \frac{13\pi}{12}$

Упростим аргументы, используя формулы приведения:

$\sin \frac{23\pi}{12} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{12}) = -\sin \frac{\pi}{12}$

$\cos \frac{13\pi}{12} = \cos(\pi + \frac{\pi}{12}) = -\cos \frac{\pi}{12}$

Подставляем упрощенные значения в выражение:

$(-\sin \frac{\pi}{12})^4 - (-\cos \frac{\pi}{12})^4 = \sin^4 \frac{\pi}{12} - \cos^4 \frac{\pi}{12}$

Применим формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$:

$(\sin^2 \frac{\pi}{12} - \cos^2 \frac{\pi}{12})(\sin^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{12})$

Первая скобка равна $-(\cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12})$, что по формуле косинуса двойного угла равно $-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\cos \frac{\pi}{6}$.

Вторая скобка, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, равна 1.

Таким образом, получаем:

$(-\cos \frac{\pi}{6}) \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) $\text{tg} \frac{7\pi}{8} + \text{ctg} \frac{7\pi}{8}$

Воспользуемся тождеством $\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$.

Подставим $\alpha = \frac{7\pi}{8}$:

$\text{tg} \frac{7\pi}{8} + \text{ctg} \frac{7\pi}{8} = \frac{2}{\sin(2 \cdot \frac{7\pi}{8})} = \frac{2}{\sin \frac{7\pi}{4}}$

Вычислим значение синуса в знаменателе, используя формулу приведения:

$\sin \frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычисляем результат:

$\frac{2}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -\frac{4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$

Ответ: $-2\sqrt{2}$

4) $\text{ctg} \frac{5\pi}{8} + \text{ctg} \frac{9\pi}{8}$

Применим формулы приведения к каждому слагаемому:

$\text{ctg} \frac{5\pi}{8} = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = -\text{tg} \frac{\pi}{8}$

$\text{ctg} \frac{9\pi}{8} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{8}) = \text{ctg} \frac{\pi}{8}$

Выражение принимает вид:

$\text{ctg} \frac{\pi}{8} - \text{tg} \frac{\pi}{8}$

Воспользуемся тождеством $\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\text{ctg}(2\alpha)$.

Подставим $\alpha = \frac{\pi}{8}$:

$2\text{ctg}(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 2\text{ctg} \frac{\pi}{4} = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

5) $\sin^2 \frac{2\pi}{13} + \sin^2 \frac{11\pi}{26}$

В данном примере, скорее всего, допущена опечатка. В исходном виде он не упрощается до стандартного значения. Типовые задачи такого рода обычно используют соотношение $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$, которое здесь не выполняется: $\frac{2\pi}{13} + \frac{11\pi}{26} = \frac{4\pi}{26} + \frac{11\pi}{26} = \frac{15\pi}{26} \ne \frac{\pi}{2}$.

Наиболее вероятно, что второе слагаемое должно быть $\sin^2 \frac{9\pi}{26}$, так как в этом случае сумма аргументов $\frac{2\pi}{13} + \frac{9\pi}{26} = \frac{4\pi}{26} + \frac{9\pi}{26} = \frac{13\pi}{26} = \frac{\pi}{2}$.

Решим задачу с этим исправлением: $\sin^2 \frac{2\pi}{13} + \sin^2 \frac{9\pi}{26}$.

Приведем первый аргумент к знаменателю 26: $\frac{2\pi}{13} = \frac{4\pi}{26}$.

Выражение примет вид: $\sin^2 \frac{4\pi}{26} + \sin^2 \frac{9\pi}{26}$.

Поскольку $\frac{4\pi}{26} + \frac{9\pi}{26} = \frac{\pi}{2}$, мы можем выразить один из углов через другой: $\frac{9\pi}{26} = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{26}$.

Подставим это в выражение:

$\sin^2 \frac{4\pi}{26} + \sin^2(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{26})$

Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$, получаем:

$\sin^2 \frac{4\pi}{26} + \cos^2 \frac{4\pi}{26} = 1$

Ответ: 1

6) $\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \cos^2 \frac{7\pi}{17}$

Приведем аргумент второго слагаемого к общему знаменателю 34:

$\frac{7\pi}{17} = \frac{14\pi}{34}$

Выражение принимает вид: $\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \cos^2 \frac{14\pi}{34}$.

Найдем сумму аргументов:

$\frac{3\pi}{34} + \frac{14\pi}{34} = \frac{17\pi}{34} = \frac{\pi}{2}$

Поскольку сумма аргументов равна $\frac{\pi}{2}$, мы можем выразить один аргумент через другой: $\frac{14\pi}{34} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{34}$.

Подставим это в выражение:

$\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{34})$

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$\cos^2 \frac{3\pi}{34} + \sin^2 \frac{3\pi}{34}$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1.

Ответ: 1

4.126. Докажите тождества:

1) $4\sin\alpha \cos^3\alpha - 2\sin2\alpha \sin^2\alpha = \sin4\alpha;$

2) $\frac{\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}^2x} + \frac{\operatorname{ctg}x}{1+\operatorname{ctg}^2x} = \sin2x;$

3) $\operatorname{tg}^4\alpha(8\cos^2(\pi-\alpha)-\cos(\pi+4\alpha)-1)=8\sin^4\alpha;$

4) $2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)\left(1-\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}.$

1)

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $ для второго слагаемого:

$ 4\sin\alpha \cos^3\alpha - 2\sin(2\alpha) \sin^2\alpha = 4\sin\alpha \cos^3\alpha - 2(2\sin\alpha\cos\alpha) \sin^2\alpha = 4\sin\alpha \cos^3\alpha - 4\sin^3\alpha\cos\alpha $.

Вынесем общий множитель $ 4\sin\alpha\cos\alpha $ за скобки:

$ 4\sin\alpha\cos\alpha(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) $.

Узнаем в выражении формулы двойного угла: $ 2\sin(2\alpha) = 4\sin\alpha\cos\alpha $ и $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $. Подставим их:

$ (2\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha)(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $.

Снова применяем формулу синуса двойного угла, но теперь для угла $ 2\alpha $:

$ 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin(4\alpha) $.

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества, используя основные тригонометрические тождества $ 1 + \text{tg}^2x = \sec^2x = \frac{1}{\cos^2x} $ и $ 1 + \text{ctg}^2x = \csc^2x = \frac{1}{\sin^2x} $:

$ \frac{\text{tg}x}{1 + \text{tg}^2x} + \frac{\text{ctg}x}{1 + \text{ctg}^2x} = \frac{\text{tg}x}{\sec^2x} + \frac{\text{ctg}x}{\csc^2x} = \text{tg}x \cdot \cos^2x + \text{ctg}x \cdot \sin^2x $.

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2x + \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin^2x = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x\cos x $.

По формуле синуса двойного угла $ 2\sin x\cos x = \sin(2x) $.

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Упростим левую часть тождества. Сначала используем формулы приведения для аргументов тригонометрических функций:

$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $, следовательно, $ \cos^2(\pi - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $.

$ \cos(\pi + 4\alpha) = -\cos(4\alpha) $.

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$ \text{tg}^4\alpha(8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = \text{tg}^4\alpha(8\cos^2\alpha - (-\cos(4\alpha)) - 1) = \text{tg}^4\alpha(8\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1) $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла дважды, чтобы выразить $ \cos(4\alpha) $:

$ \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 = 2(2\cos^2\alpha - 1)^2 - 1 = 2(4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1) - 1 = 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1 $.

Подставим это в выражение в скобках:

$ 8\cos^2\alpha + (8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1) - 1 = 8\cos^4\alpha $.

Теперь все выражение левой части равно:

$ \text{tg}^4\alpha \cdot (8\cos^4\alpha) = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} \cdot 8\cos^4\alpha = 8\sin^4\alpha $.

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. Упростим по отдельности множители в скобках.

Выражение в первой скобке: $ \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Выражение во второй скобке: $ 1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)} = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)} $. По формуле косинуса двойного угла $ \cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2) = \cos\alpha $. Значит, $ 1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\alpha}{\cos^2(\alpha/2)} $.

Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$ 2\text{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot \left( \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} \right) \cdot \left( \frac{\cos\alpha}{\cos^2(\alpha/2)} \right) $.

Сократим $ \cos\alpha $:

$ 2\text{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha/2)} $.

Теперь выразим $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} $ и $ \sin\alpha $ через синус и косинус половинного угла: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} $ и $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $.

$ 2 \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha/2)} $.

После сокращения общих множителей $ 2 $ и $ \sin(\alpha/2) $ получаем:

$ \frac{1}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha/2)} = \frac{1}{\cos^4(\alpha/2)} $.

Таким образом, левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

4.127. Упростите выражения:

1) $0,125\cos4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha;$

2) $\sin^2\gamma\text{tg}\gamma - \cos^2\gamma\text{ctg}\gamma + 2\text{ctg}2\gamma;$

3) $\frac{1}{\text{tg}^2 x} - \frac{2\cos2x}{1 + \sin(2x + 1,5\pi)};$

4) $\frac{1}{1 - \text{tg}x} - \frac{\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\sin x}{\cos 2x}.$

1) $0,125\cos4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Сначала преобразуем второе слагаемое, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$.

Теперь представим десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{1}{8}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{8}\cos(4\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$. Для нашего случая, где $x=2\alpha$, получаем $\cos(4\alpha) = 1 - 2\sin^2(2\alpha)$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1}{8}(1 - 2\sin^2(2\alpha)) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8} - \frac{2}{8}\sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

2) $\sin^2\gamma\tan\gamma - \cos^2\gamma\cot\gamma + 2\cot(2\gamma)$

Воспользуемся формулой котангенса двойного угла: $\cot(2\gamma) = \frac{\cot^2\gamma - 1}{2\cot\gamma}$.

Отсюда $2\cot(2\gamma) = \frac{\cot^2\gamma - 1}{\cot\gamma} = \frac{\cot^2\gamma}{\cot\gamma} - \frac{1}{\cot\gamma} = \cot\gamma - \tan\gamma$.

Подставим это выражение в исходное:

$\sin^2\gamma\tan\gamma - \cos^2\gamma\cot\gamma + \cot\gamma - \tan\gamma$

Сгруппируем слагаемые с $\tan\gamma$ и $\cot\gamma$:

$\tan\gamma(\sin^2\gamma - 1) + \cot\gamma(1 - \cos^2\gamma)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$. Из него следуют два равенства: $\sin^2\gamma - 1 = -\cos^2\gamma$ и $1 - \cos^2\gamma = \sin^2\gamma$.

Подставим их в наше выражение:

$\tan\gamma(-\cos^2\gamma) + \cot\gamma(\sin^2\gamma)$

Теперь заменим $\tan\gamma = \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}$ и $\cot\gamma = \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}$:

$\frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}(-\cos^2\gamma) + \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}(\sin^2\gamma) = -\sin\gamma\cos\gamma + \cos\gamma\sin\gamma = 0$.

Ответ: $0$

3) $\frac{1}{\tan^2x} - \frac{2\cos(2x)}{1 + \sin(2x + 1,5\pi)}$

Упростим знаменатель второй дроби, используя формулу приведения. Заметим, что $1,5\pi = \frac{3\pi}{2}$.

$\sin(2x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(2x)$.

Тогда знаменатель второй дроби равен $1 - \cos(2x)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{\tan^2x} - \frac{2\cos(2x)}{1 - \cos(2x)}$.

Воспользуемся формулой $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$. Также заменим $\frac{1}{\tan^2x} = \cot^2x = \frac{\cos^2x}{\sin^2x}$.

Подставляем эти выражения:

$\frac{\cos^2x}{\sin^2x} - \frac{2\cos(2x)}{2\sin^2x} = \frac{\cos^2x - \cos(2x)}{\sin^2x}$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$.

$\frac{\cos^2x - (\cos^2x - \sin^2x)}{\sin^2x} = \frac{\cos^2x - \cos^2x + \sin^2x}{\sin^2x} = \frac{\sin^2x}{\sin^2x} = 1$.

Ответ: $1$

4) $\frac{1}{1 - \tan x} - \frac{\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} + x)\sin x}{\cos(2x)}$

Упростим числитель второй дроби, используя формулу синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

$\sin(\frac{\pi}{4} + x) = \sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos\frac{\pi}{4}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)$.

Тогда числитель второй дроби: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) \cdot \sin x = (\cos x + \sin x)\sin x$.

Теперь преобразуем все выражение. Заменим $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ в первой дроби и $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$ во второй.

$\frac{1}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} - \frac{(\cos x + \sin x)\sin x}{\cos^2x - \sin^2x}$

Упростим первую дробь:

$\frac{1}{\frac{\cos x - \sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\cos x - \sin x}$.

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $\cos^2x - \sin^2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{\cos x}{\cos x - \sin x} - \frac{(\cos x + \sin x)\sin x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$:

$\frac{\cos x(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} - \frac{(\cos x + \sin x)\sin x}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$

Объединим числители под одной чертой:

$\frac{\cos x(\cos x + \sin x) - \sin x(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$

Вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$ в числителе:

$\frac{(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$

Сократим дробь, что дает $1$.

Ответ: $1$