Страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.130. Напишите выражения в виде произведения:

1) $ \sin 15^{\circ} + \cos 65^{\circ} $;

2) $ \cos 40^{\circ} - \sin 16^{\circ} $;

3) $ \cos 50^{\circ} + \sin 80^{\circ} $;

4) $ \sin 40^{\circ} - \cos 40^{\circ} $;

5) $ \cos 18^{\circ} - \sin 22^{\circ} $;

6) $ \cos 36^{\circ} + \sin 36^{\circ} $.

1) Для преобразования суммы в произведение, приведем оба слагаемых к одной тригонометрической функции, например, к синусу. Используем формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(90^\circ-\alpha) $.
$ \cos65^\circ = \sin(90^\circ - 65^\circ) = \sin25^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \sin15^\circ + \sin25^\circ $.
Теперь применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \sin15^\circ + \sin25^\circ = 2\sin\frac{15^\circ+25^\circ}{2}\cos\frac{15^\circ-25^\circ}{2} = 2\sin\frac{40^\circ}{2}\cos\frac{-10^\circ}{2} = 2\sin20^\circ\cos(-5^\circ) $.
Так как косинус — четная функция ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем $ 2\sin20^\circ\cos5^\circ $.
Ответ: $ 2\sin20^\circ\cos5^\circ $.

2) Приведем оба члена выражения к одной функции, например, к косинусу. Используем формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ-\alpha) $.
$ \sin16^\circ = \cos(90^\circ - 16^\circ) = \cos74^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \cos40^\circ - \cos74^\circ $.
Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos40^\circ - \cos74^\circ = -2\sin\frac{40^\circ+74^\circ}{2}\sin\frac{40^\circ-74^\circ}{2} = -2\sin\frac{114^\circ}{2}\sin\frac{-34^\circ}{2} = -2\sin57^\circ\sin(-17^\circ) $.
Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), получаем $ -2\sin57^\circ(-\sin17^\circ) = 2\sin57^\circ\sin17^\circ $.
Ответ: $ 2\sin57^\circ\sin17^\circ $.

3) Приведем оба слагаемых к косинусам, используя формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ-\alpha) $.
$ \sin80^\circ = \cos(90^\circ - 80^\circ) = \cos10^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \cos50^\circ + \cos10^\circ $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos50^\circ + \cos10^\circ = 2\cos\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-10^\circ}{2} = 2\cos\frac{60^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ}{2} = 2\cos30^\circ\cos20^\circ $.
Так как $ \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, подставляем это значение: $ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos20^\circ = \sqrt{3}\cos20^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{3}\cos20^\circ $.

4) Приведем оба члена выражения к синусам, используя формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(90^\circ-\alpha) $.
$ \cos40^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \sin50^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \sin40^\circ - \sin50^\circ $.
Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.
$ \sin40^\circ - \sin50^\circ = 2\sin\frac{40^\circ-50^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ+50^\circ}{2} = 2\sin\frac{-10^\circ}{2}\cos\frac{90^\circ}{2} = 2\sin(-5^\circ)\cos45^\circ $.
Так как $ \sin(-x) = -\sin(x) $ и $ \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем $ 2(-\sin5^\circ)\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}\sin5^\circ $.
Ответ: $ -\sqrt{2}\sin5^\circ $.

5) Приведем оба члена выражения к косинусам, используя формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ-\alpha) $.
$ \sin22^\circ = \cos(90^\circ - 22^\circ) = \cos68^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \cos18^\circ - \cos68^\circ $.
Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos18^\circ - \cos68^\circ = -2\sin\frac{18^\circ+68^\circ}{2}\sin\frac{18^\circ-68^\circ}{2} = -2\sin\frac{86^\circ}{2}\sin\frac{-50^\circ}{2} = -2\sin43^\circ\sin(-25^\circ) $.
Так как $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем $ -2\sin43^\circ(-\sin25^\circ) = 2\sin43^\circ\sin25^\circ $.
Ответ: $ 2\sin43^\circ\sin25^\circ $.

6) Приведем оба слагаемых к косинусам, используя формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ-\alpha) $.
$ \sin36^\circ = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \cos54^\circ $.
Исходное выражение принимает вид: $ \cos36^\circ + \cos54^\circ $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos36^\circ + \cos54^\circ = 2\cos\frac{36^\circ+54^\circ}{2}\cos\frac{36^\circ-54^\circ}{2} = 2\cos\frac{90^\circ}{2}\cos\frac{-18^\circ}{2} = 2\cos45^\circ\cos(-9^\circ) $.
Так как $ \cos(-x)=\cos(x) $ и $ \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем $ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos9^\circ = \sqrt{2}\cos9^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{2}\cos9^\circ $.

4.131. Разложите на множители:

1) $sin3\alpha + sin\alpha;$

2) $cos2\alpha + cos3\alpha;$

3) $cosx - cos3x;$

4) $siny - sin5y.$

1) Для разложения на множители выражения $ \sin3\alpha + \sin\alpha $ воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $.

В данном случае $ A = 3\alpha $ и $ B = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin3\alpha + \sin\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin2\alpha \cos\alpha $.

Ответ: $ 2 \sin2\alpha \cos\alpha $.

2) Для разложения на множители выражения $ \cos2\alpha + \cos3\alpha $ воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $.

Так как сложение коммутативно, для удобства возьмем $ A = 3\alpha $ и $ B = 2\alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos3\alpha + \cos2\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos\frac{5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ 2 \cos\frac{5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} $.

3) Для разложения на множители выражения $ \cos x - \cos3x $ воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $.

В данном случае $ A = x $ и $ B = 3x $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos x - \cos3x = -2 \sin\frac{x+3x}{2} \sin\frac{x-3x}{2} = -2 \sin\frac{4x}{2} \sin\frac{-2x}{2} = -2 \sin(2x) \sin(-x) $.

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-u) = -\sin u $, получаем:

$ -2 \sin(2x) (-\sin x) = 2 \sin(2x) \sin x $.

Ответ: $ 2 \sin(2x) \sin x $.

4) Для разложения на множители выражения $ \sin y - \sin5y $ воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $.

В данном случае $ A = y $ и $ B = 5y $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin y - \sin5y = 2 \cos\frac{y+5y}{2} \sin\frac{y-5y}{2} = 2 \cos\frac{6y}{2} \sin\frac{-4y}{2} = 2 \cos(3y) \sin(-2y) $.

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-u) = -\sin u $, получаем:

$ 2 \cos(3y) (-\sin(2y)) = -2 \cos(3y) \sin(2y) $.

Ответ: $ -2 \cos(3y) \sin(2y) $.

4.132. Преобразуйте произведение в сумму:

1) $ \sin \left( x + \frac{\pi}{8} \right) \sin \left( x - \frac{\pi}{8} \right) $;

2) $ \cos(x+y)\cos(x-y) $;

3) $ \sin 75^{\circ} \sin 15^{\circ} $;

4) $ \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} $;

5) $ \sin(30^{\circ}+x)\cos(30^{\circ}-x) $;

6) $ \cos \left( \frac{\pi}{4} + y \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - y \right) $.

1) Для преобразования произведения синусов в сумму используем формулу $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $. В данном случае $ \alpha = x + \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = x - \frac{\pi}{8} $.Найдем разность и сумму углов:$ \alpha - \beta = (x + \frac{\pi}{8}) - (x - \frac{\pi}{8}) = x + \frac{\pi}{8} - x + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.$ \alpha + \beta = (x + \frac{\pi}{8}) + (x - \frac{\pi}{8}) = 2x $.Подставляем в формулу:$ \sin(x + \frac{\pi}{8})\sin(x - \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(2x)) $.Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:$ \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos(2x)) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x) $.Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x) $.

2) Для преобразования произведения косинусов в сумму используем формулу $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $. В данном случае $ \alpha = x+y $ и $ \beta = x-y $.Найдем сумму и разность углов:$ \alpha + \beta = (x+y) + (x-y) = 2x $.$ \alpha - \beta = (x+y) - (x-y) = 2y $.Подставляем в формулу:$ \cos(x+y)\cos(x-y) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2y)) = \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(2y) $.Ответ: $ \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(2y) $.

3) Используем формулу для произведения синусов: $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $. Здесь $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $.Найдем разность и сумму углов:$ \alpha - \beta = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ $.$ \alpha + \beta = 75^\circ + 15^\circ = 90^\circ $.Подставляем в формулу:$ \sin75^\circ\sin15^\circ = \frac{1}{2}(\cos(60^\circ) - \cos(90^\circ)) $.Зная, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $ и $ \cos(90^\circ) = 0 $, получаем:$ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4} $.Ответ: $ \frac{1}{4} $.

4) Используем формулу для произведения косинусов: $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $. Здесь $ \alpha = 40^\circ $ и $ \beta = 20^\circ $.Найдем сумму и разность углов:$ \alpha + \beta = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ $.$ \alpha - \beta = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ $.Подставляем в формулу:$ \cos40^\circ\cos20^\circ = \frac{1}{2}(\cos(60^\circ) + \cos(20^\circ)) $.Так как $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:$ \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \cos(20^\circ)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(20^\circ) $.Ответ: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(20^\circ) $.

5) Для преобразования произведения синуса на косинус используем формулу $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $. В данном случае $ \alpha = 30^\circ+x $ и $ \beta = 30^\circ-x $.Найдем сумму и разность углов:$ \alpha + \beta = (30^\circ+x) + (30^\circ-x) = 60^\circ $.$ \alpha - \beta = (30^\circ+x) - (30^\circ-x) = 30^\circ+x-30^\circ+x = 2x $.Подставляем в формулу:$ \sin(30^\circ+x)\cos(30^\circ-x) = \frac{1}{2}(\sin(60^\circ) + \sin(2x)) $.Зная, что $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:$ \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin(2x)) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin(2x) $.Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\sin(2x) $.

6) Для преобразования произведения косинуса на синус используем формулу $ \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)) $. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{4}+y $ и $ \beta = \frac{\pi}{4}-y $.Найдем сумму и разность углов:$ \alpha + \beta = (\frac{\pi}{4}+y) + (\frac{\pi}{4}-y) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $.$ \alpha - \beta = (\frac{\pi}{4}+y) - (\frac{\pi}{4}-y) = \frac{\pi}{4}+y-\frac{\pi}{4}+y = 2y $.Подставляем в формулу:$ \cos(\frac{\pi}{4}+y)\sin(\frac{\pi}{4}-y) = \frac{1}{2}(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(2y)) $.Так как $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, получаем:$ \frac{1}{2}(1 - \sin(2y)) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin(2y) $.Ответ: $ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin(2y) $.

4.133. Представьте в виде произведения:

1) $\cos x + \sin y$;

2) $\sin x - \cos y$;

3) $\sin^2 x - \sin^2 y$;

4) $\cos^2 x - \cos^2 y$;

5) $\sin^2 x - \cos^2 y$;

6) $\operatorname{tg} x - \operatorname{tg} y$.

1) Для преобразования суммы в произведение приведем функции к одному наименованию, используя формулу приведения $\sin y = \cos(\frac{\pi}{2} - y)$.

$\cos x + \sin y = \cos x + \cos(\frac{\pi}{2} - y)$

Теперь воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{2} - y$.

$\cos x + \cos(\frac{\pi}{2} - y) = 2\cos\left(\frac{x + \frac{\pi}{2} - y}{2}\right)\cos\left(\frac{x - (\frac{\pi}{2} - y)}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$

Ответ: $2\cos(\frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4})\cos(\frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4})$.

2) Используем формулу приведения, чтобы привести функции к одному наименованию: $\cos y = \sin(\frac{\pi}{2} - y)$.

$\sin x - \cos y = \sin x - \sin(\frac{\pi}{2} - y)$

Применим формулу разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{2} - y$.

$\sin x - \sin(\frac{\pi}{2} - y) = 2\sin\left(\frac{x - (\frac{\pi}{2} - y)}{2}\right)\cos\left(\frac{x + \frac{\pi}{2} - y}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

Ответ: $2\sin(\frac{x+y}{2} - \frac{\pi}{4})\cos(\frac{x-y}{2} + \frac{\pi}{4})$.

3) Воспользуемся формулами понижения степени: $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.

$\sin^2 x - \sin^2 y = \frac{1-\cos(2x)}{2} - \frac{1-\cos(2y)}{2} = \frac{1-\cos(2x)-1+\cos(2y)}{2} = \frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{2}$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{2} = \frac{-2\sin\frac{2y+2x}{2}\sin\frac{2y-2x}{2}}{2} = -\sin(y+x)\sin(y-x)$

Так как $\sin(y-x) = -\sin(x-y)$, то получаем:

$-\sin(x+y)(-\sin(x-y)) = \sin(x+y)\sin(x-y)$

Ответ: $\sin(x+y)\sin(x-y)$.

4) Воспользуемся формулами понижения степени: $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$.

$\cos^2 x - \cos^2 y = \frac{1+\cos(2x)}{2} - \frac{1+\cos(2y)}{2} = \frac{1+\cos(2x)-1-\cos(2y)}{2} = \frac{\cos(2x)-\cos(2y)}{2}$

Теперь применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\frac{\cos(2x)-\cos(2y)}{2} = \frac{-2\sin\frac{2x+2y}{2}\sin\frac{2x-2y}{2}}{2} = -\sin(x+y)\sin(x-y)$

Ответ: $-\sin(x+y)\sin(x-y)$.

5) Используем формулы понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ и $\cos^2 y = \frac{1+\cos(2y)}{2}$.

$\sin^2 x - \cos^2 y = \frac{1-\cos(2x)}{2} - \frac{1+\cos(2y)}{2} = \frac{1-\cos(2x)-1-\cos(2y)}{2} = \frac{-\cos(2x)-\cos(2y)}{2}$

$= -\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{2}$

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-\frac{2\cos\frac{2x+2y}{2}\cos\frac{2x-2y}{2}}{2} = -\cos(x+y)\cos(x-y)$

Ответ: $-\cos(x+y)\cos(x-y)$.

6) Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:

$\tan x - \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y}$

Выражение в числителе является формулой синуса разности: $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду:

$\frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$

Ответ: $\frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$.

4.134. Докажите тождества:

1) $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right) $;

2) $ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} + x\right) $.

1) Для доказательства тождества $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ преобразуем его правую часть.

Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x$.

$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)$.

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)$.

Упростим полученное выражение:

$\frac{(\sqrt{2})^2}{2}(\cos x + \sin x) = \frac{2}{2}(\cos x + \sin x) = \cos x + \sin x$.

Правая часть тождества после преобразования стала равна левой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем преобразования правой части с использованием формулы косинуса разности и значений синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$.

2) Рассмотрим равенство $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ и преобразуем его правую часть.

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x$.

$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)$.

Подставим значения $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) = \frac{2}{2}(\cos x - \sin x) = \cos x - \sin x$.

В результате преобразования правая часть оказалась равна $\cos x - \sin x$. Левая же часть равна $\sin x - \cos x$.

Поскольку $\sin x - \cos x = -(\cos x - \sin x)$, данное равенство не является тождеством, так как оно выполняется только для тех $x$, для которых $\sin x = \cos x$.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Правильное тождество должно содержать знак минус в правой части: $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$. Докажем это исправленное тождество.

Как мы уже показали, $\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \cos x - \sin x$.

Тогда правая часть исправленного тождества равна:

$-\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = -(\cos x - \sin x) = \sin x - \cos x$.

Это выражение совпадает с левой частью. Таким образом, исправленное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии допущена ошибка. Доказано исправленное тождество $\sin x - \cos x = -\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$.

4.135. Представьте в виде произведения:

1) $cotgx+cotgy$;

2) $cotgx-cotgy$;

3) $1+tgx$;

4) $1+cotgx$.

1) ctgx + ctgy

Для того чтобы представить сумму котангенсов в виде произведения, воспользуемся их определением через синус и косинус: $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $, $ \text{ctg}y = \frac{\cos y}{\sin y} $.

Подставим эти выражения в исходную сумму: $ \text{ctg}x + \text{ctg}y = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin x \sin y $: $ \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{\cos x \sin y + \cos y \sin x}{\sin x \sin y} $

В числителе мы получили формулу синуса суммы двух углов: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Таким образом, выражение преобразуется к виду: $ \frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y} $

Это и есть представление исходной суммы в виде произведения (частного).

Ответ: $ \frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y} $

2) ctgx - ctgy

Действуем аналогично первому пункту. Запишем котангенсы через синусы и косинусы: $ \text{ctg}x - \text{ctg}y = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos y}{\sin y} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin x \sin y $: $ \frac{\cos x \sin y - \cos y \sin x}{\sin x \sin y} $

Числитель представляет собой формулу синуса разности двух углов: $ \sin(y-x) = \sin y \cos x - \cos y \sin x $.

Следовательно, получаем: $ \frac{\sin(y-x)}{\sin x \sin y} $

Ответ: $ \frac{\sin(y-x)}{\sin x \sin y} $

3) 1 + tgx

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $ 1 + \text{tg}x = 1 + \frac{\sin x}{\cos x} $

Приведем к общему знаменателю $ \cos x $: $ \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} $

Теперь преобразуем сумму в числителе $ \cos x + \sin x $. Для этого воспользуемся методом вспомогательного угла. Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобки: $ \cos x + \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) $

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, мы можем переписать выражение в скобках: $ \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\cos x + \sin(\frac{\pi}{4})\sin x) $

Это соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $. Следовательно, $ \cos x + \sin x = \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) $.

Подставим полученное выражение обратно в дробь: $ \frac{\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\cos x} $

Замечание: можно также использовать тот факт, что $ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{\pi}{4}) $, поэтому другой верный вариант ответа: $ \frac{\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})}{\cos x} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\cos x} $

4) 1 + ctgx

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ 1 + \text{ctg}x = 1 + \frac{\cos x}{\sin x} $

Приведем к общему знаменателю $ \sin x $: $ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} $

Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, сумма $ \sin x + \cos x $ может быть преобразована в произведение: $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) $.

Подставим это преобразование в наше выражение: $ \frac{\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\sin x} $

Замечание: используя эквивалентность $ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{\pi}{4}) $, можно записать ответ в виде $ \frac{\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})}{\sin x} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\sin x} $

4.136. Разложите на множители:

1) $1 + \cos\beta + \cos\frac{\beta}{2}$;

2) $3 - \text{tg}^2\beta$;

3) $\cos\beta - \sin\beta \sin2\beta$;

4) $\text{ctg}^2\beta - 3$;

5) $\cos\beta + \sin2\beta - \cos3\beta$;

6) $1 - \text{tg}\beta + \frac{1}{\cos\beta}$;

7) $3 - 4\sin^2\beta$;

8) $1 - 4\cos^2\beta$.

1) Для разложения на множители выражения $1 + \cos\beta + \cos\frac{\beta}{2}$ воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos\beta = 2\cos^2\frac{\beta}{2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$2\cos^2\frac{\beta}{2} + \cos\frac{\beta}{2}$
Теперь вынесем общий множитель $\cos\frac{\beta}{2}$ за скобки:
$\cos\frac{\beta}{2}(2\cos\frac{\beta}{2} + 1)$
Ответ: $2\cos\frac{\beta}{2}(\cos\frac{\beta}{2} + \frac{1}{2})$ или $\cos\frac{\beta}{2}(2\cos\frac{\beta}{2} + 1)$.

2) Выражение $3 - \tg^2\beta$ представляет собой разность квадратов. Представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
$3 - \tg^2\beta = (\sqrt{3})^2 - \tg^2\beta$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(\sqrt{3} - \tg\beta)(\sqrt{3} + \tg\beta)$
Ответ: $(\sqrt{3} - \tg\beta)(\sqrt{3} + \tg\beta)$.

3) В выражении $\cos\beta - \sin\beta \sin2\beta$ применим формулу синуса двойного угла $\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$.
$\cos\beta - \sin\beta (2\sin\beta\cos\beta) = \cos\beta - 2\sin^2\beta\cos\beta$
Вынесем общий множитель $\cos\beta$ за скобки:
$\cos\beta(1 - 2\sin^2\beta)$
Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $1 - 2\sin^2\beta = \cos2\beta$.
Таким образом, получаем:
$\cos\beta\cos2\beta$
Ответ: $\cos\beta\cos2\beta$.

4) Выражение $\ctg^2\beta - 3$ является разностью квадратов. Представим $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
$\ctg^2\beta - 3 = \ctg^2\beta - (\sqrt{3})^2$
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:
$(\ctg\beta - \sqrt{3})(\ctg\beta + \sqrt{3})$
Ответ: $(\ctg\beta - \sqrt{3})(\ctg\beta + \sqrt{3})$.

5) Сгруппируем члены в выражении $\cos\beta + \sin2\beta - \cos3\beta$ следующим образом:
$(\cos\beta - \cos3\beta) + \sin2\beta$
Применим к выражению в скобках формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos\beta - \cos3\beta = -2\sin\frac{\beta+3\beta}{2}\sin\frac{\beta-3\beta}{2} = -2\sin2\beta\sin(-\beta) = 2\sin\beta\sin2\beta$
Подставим результат в исходное выражение:
$2\sin\beta\sin2\beta + \sin2\beta$
Вынесем общий множитель $\sin2\beta$ за скобки:
$\sin2\beta(2\sin\beta + 1)$
Ответ: $\sin2\beta(2\sin\beta + 1)$.

6) Преобразуем выражение $1 - \tg\beta + \frac{1}{\cos\beta}$, приведя все к общему знаменателю $\cos\beta$. Для этого заменим $\tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.
$1 - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{1}{\cos\beta} = \frac{\cos\beta - \sin\beta + 1}{\cos\beta}$
Теперь разложим на множители числитель $1 + \cos\beta - \sin\beta$. Используем формулы половинного угла:
$1 + \cos\beta = 2\cos^2\frac{\beta}{2}$
$\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$
Числитель принимает вид:
$2\cos^2\frac{\beta}{2} - 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\beta}{2}$:
$2\cos\frac{\beta}{2}(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2})$
Таким образом, итоговое выражение:
$\frac{2\cos\frac{\beta}{2}(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2})}{\cos\beta}$
Ответ: $\frac{2\cos\frac{\beta}{2}(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2})}{\cos\beta}$.

7) Выражение $3 - 4\sin^2\beta$ можно преобразовать, используя формулу синуса тройного угла $\sin3\beta = 3\sin\beta - 4\sin^3\beta$.
Если $\sin\beta \neq 0$, мы можем умножить и разделить выражение на $\sin\beta$:
$3 - 4\sin^2\beta = \frac{\sin\beta(3 - 4\sin^2\beta)}{\sin\beta} = \frac{3\sin\beta - 4\sin^3\beta}{\sin\beta}$
Числитель дроби равен $\sin3\beta$.
Следовательно, выражение можно представить в виде:
$\frac{\sin3\beta}{\sin\beta}$
Это является формой разложения, так как сумма преобразована в отношение тригонометрических функций.
Другой способ - разность квадратов: $3 - 4\sin^2\beta = (\sqrt{3})^2 - (2\sin\beta)^2 = (\sqrt{3} - 2\sin\beta)(\sqrt{3} + 2\sin\beta)$.
Ответ: $\frac{\sin3\beta}{\sin\beta}$ (при $\sin\beta \neq 0$) или $(\sqrt{3} - 2\sin\beta)(\sqrt{3} + 2\sin\beta)$.

8) Выражение $1 - 4\cos^2\beta$ является разностью квадратов.
$1 - 4\cos^2\beta = 1^2 - (2\cos\beta)^2$
Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:
$(1 - 2\cos\beta)(1 + 2\cos\beta)$
Ответ: $(1 - 2\cos\beta)(1 + 2\cos\beta)$.