Страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.118. Найдите sin2α, cos2α, tg2α, если cosα=$\frac{7}{25}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

По условию задачи дано $cos\alpha = \frac{7}{25}$ и известно, что угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это соответствует IV четверти координатной плоскости, где синус отрицателен ($sin\alpha < 0$), а косинус положителен ($cos\alpha > 0$).

Для нахождения искомых величин сначала найдем $sin\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.

Отсюда $sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$. Поскольку угол $\alpha$ находится в IV четверти, выбираем отрицательное значение: $sin\alpha = -\frac{24}{25}$.

Теперь мы можем найти значения для синуса, косинуса и тангенса двойного угла.

sin2α

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.

Подставим известные значения $sin\alpha$ и $cos\alpha$:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot (-\frac{24}{25}) \cdot \frac{7}{25} = -\frac{2 \cdot 24 \cdot 7}{625} = -\frac{336}{625}$.

Ответ: $sin(2\alpha) = -\frac{336}{625}$.

cos2α

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла. Удобнее всего использовать формулу, зависящую только от косинуса: $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$.

Подставим известное значение $cos\alpha$:

$cos(2\alpha) = 2 \cdot (\frac{7}{25})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{625} - 1 = \frac{98}{625} - \frac{625}{625} = \frac{98 - 625}{625} = -\frac{527}{625}$.

Проверим, используя другую формулу: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

$cos(2\alpha) = (\frac{7}{25})^2 - (-\frac{24}{25})^2 = \frac{49}{625} - \frac{576}{625} = \frac{49 - 576}{625} = -\frac{527}{625}$.

Результаты совпадают.

Ответ: $cos(2\alpha) = -\frac{527}{625}$.

tg2α

Тангенс двойного угла можно найти по определению тангенса: $tg(2\alpha) = \frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)}$.

Подставим найденные ранее значения $sin(2\alpha)$ и $cos(2\alpha)$:

$tg(2\alpha) = \frac{-336/625}{-527/625} = \frac{336}{527}$.

Ответ: $tg(2\alpha) = \frac{336}{527}$.

4.119. Найдите значения $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $ и $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $, если:

1) Дано $ \sin\alpha = \frac{5}{13} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Сначала найдем $ \cos\alpha $. Поскольку угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), его косинус отрицателен. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Так как $ \cos\alpha < 0 $, то $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} $.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделим неравенство $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ на 2:

$ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в первой четверти, поэтому его синус, косинус, тангенс и котангенс положительны.

Применим формулы половинного угла:

$ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} $.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $.

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{5/\sqrt{26}}{1/\sqrt{26}} = 5 $.

$ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}(\alpha/2)} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = 5 $, $ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{5} $.

2) Дано $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $ и $ \frac{5\pi}{2} < \alpha < 3\pi $.

Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделим неравенство $ \frac{5\pi}{2} < \alpha < 3\pi $ на 2:

$ \frac{5\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{2} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в третьей четверти, поэтому его синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Применим формулы половинного угла:

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{25}{26}} = -\frac{5}{\sqrt{26}} = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $.

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{-5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}} = 5 $.

$ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}(\alpha/2)} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{26}}{26} $, $ \sin\frac{\alpha}{2} = -\frac{5\sqrt{26}}{26} $, $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = 5 $, $ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{5} $.

3) Дано $ \cos\alpha = -\frac{3}{4} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделим неравенство $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ на 2:

$ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти, поэтому его синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Применим формулы половинного угла:

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{3}{4})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} $.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{3}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{7}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $.

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{14}/4}{-\sqrt{2}/4} = -\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{7} $.

$ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}(\alpha/2)} = \frac{1}{-\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}}{7} $.

Ответ: $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} $, $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4} $, $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{7} $, $ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{7} $.

4) Дано $ \sin\alpha = -0,8 = -\frac{4}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Сначала найдем $ \cos\alpha $. Поскольку угол $ \alpha $ находится в третьей четверти ($ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $), его косинус отрицателен. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.

Так как $ \cos\alpha < 0 $, то $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} $.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделим неравенство $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ на 2:

$ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти, поэтому его синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Применим формулы половинного угла:

$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = -2 $.

$ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}(\alpha/2)} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = -2 $, $ \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2} $.

4.120. Упростите выражения:

1) $ \frac{1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2} - 1} $;

2) $ 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{3x}{2}\right) - 1 $;

3) $ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha - \cos2\alpha $;

4) $ 2\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{3x}{2}\right) - 1 $.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$.

В числителе дроби $1-2\sin^2\frac{x}{2}$ мы видим формулу $\cos(2\alpha)$ при $\alpha = \frac{x}{2}$.

Следовательно, $1-2\sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

В знаменателе дроби $2\cos^2\frac{x}{2}-1$ мы также видим формулу $\cos(2\alpha)$ при $\alpha = \frac{x}{2}$.

Следовательно, $2\cos^2\frac{x}{2}-1 = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$\frac{1-2\sin^2\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}-1} = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

Ответ: 1.

2) Для упрощения выражения $2\sin^2(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}) - 1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$.

Преобразуем исходное выражение:

$2\sin^2(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}) - 1 = -(1 - 2\sin^2(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}))$.

В скобках мы видим формулу $\cos(2\alpha)$, где $\alpha = \frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}$.

Найдем $2\alpha$: $2\alpha = 2 \cdot (\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}) = \frac{\pi}{2} + 3x$.

Тогда выражение равно $-\cos(\frac{\pi}{2} + 3x)$.

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \beta) = -\sin\beta$, где $\beta = 3x$, получаем:

$-\cos(\frac{\pi}{2} + 3x) = -(-\sin(3x)) = \sin(3x)$.

Ответ: $\sin(3x)$.

3) Упростим выражение $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha - \cos(2\alpha)$.

Рассмотрим первую часть выражения $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2 = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Подставляя эти тождества, получаем:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos(2\alpha)) \cdot 1 = \cos(2\alpha)$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\cos(2\alpha) - \cos(2\alpha) = 0$.

Ответ: 0.

4) Для упрощения выражения $2\cos^2(\frac{\pi}{4}-\frac{3x}{2}) - 1$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha-1$.

В данном выражении мы видим эту формулу, где $\alpha = \frac{\pi}{4}-\frac{3x}{2}$.

Найдем $2\alpha$: $2\alpha = 2 \cdot (\frac{\pi}{4}-\frac{3x}{2}) = \frac{\pi}{2} - 3x$.

Следовательно, исходное выражение равно $\cos(\frac{\pi}{2} - 3x)$.

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin\beta$, где $\beta = 3x$, получаем:

$\cos(\frac{\pi}{2} - 3x) = \sin(3x)$.

Ответ: $\sin(3x)$.

4.121. Упростите выражения:

1) $\frac{1 + \cos 42^{\circ}}{1 - \cos 42^{\circ}}$;

2) $\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) - \sin^2 x$;

3) $\frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}$;

4) $\frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x}{1 + 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x}$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами понижения степени (или формулами косинуса двойного угла, выраженными через половинный угол): $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$ и $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$. В нашем случае угол $2\alpha = 42^\circ$, следовательно, половинный угол $\alpha = 21^\circ$.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{1 + \cos 42^\circ}{1 - \cos 42^\circ} = \frac{2\cos^2 21^\circ}{2\sin^2 21^\circ}$

Сократим множитель 2 в числителе и знаменателе. Отношение квадрата косинуса к квадрату синуса одного и того же угла равно квадрату котангенса этого угла:

$\frac{\cos^2 21^\circ}{\sin^2 21^\circ} = \left(\frac{\cos 21^\circ}{\sin 21^\circ}\right)^2 = \cot^2 21^\circ$

Ответ: $\cot^2 21^\circ$.

2) Сначала упростим множитель $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$. Для этого воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}$.

Чтобы доказать это тождество, представим тангенс как отношение синуса к косинусу и применим формулы разности углов:

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}{\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})} = \frac{\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})} = \frac{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}$

Возведем полученное выражение в квадрат:

$\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})^2}{(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2} = \frac{\cos^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}} = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$

Теперь подставим это тождество в исходное выражение:

$\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} - \sin^2 x$

Произведение дробей равно 1, так как числитель первой дроби сокращается со знаменателем второй, а знаменатель первой — с числителем второй.

$1 - \sin^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$

Ответ: $\cos^2 x$.

3) Для упрощения этого выражения используем формулу косинуса двойного угла: $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$. Подставим это выражение в числитель и знаменатель дроби.

Преобразуем числитель: $1 - 2\cos\frac{x}{2} + \cos x = 1 - 2\cos\frac{x}{2} + (2\cos^2\frac{x}{2} - 1) = 2\cos^2\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2} = 2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} - 1)$.

Преобразуем знаменатель: $1 + 2\cos\frac{x}{2} + \cos x = 1 + 2\cos\frac{x}{2} + (2\cos^2\frac{x}{2} - 1) = 2\cos^2\frac{x}{2} + 2\cos\frac{x}{2} = 2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} + 1)$.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} - 1)}{2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2} + 1)} = \frac{\cos\frac{x}{2} - 1}{\cos\frac{x}{2} + 1}$

Вынесем знак минус в числителе: $\frac{-(1 - \cos\frac{x}{2})}{1 + \cos\frac{x}{2}}$.

Применим формулы половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$, где $\alpha = \frac{x}{2}$.

$-\frac{2\sin^2(\frac{x/2}{2})}{2\cos^2(\frac{x/2}{2})} = -\frac{2\sin^2\frac{x}{4}}{2\cos^2\frac{x}{4}} = -\left(\frac{\sin\frac{x}{4}}{\cos\frac{x}{4}}\right)^2 = -\text{tg}^2\frac{x}{4}$

Ответ: $-\text{tg}^2\frac{x}{4}$.

4) В этом выражении используем другую формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус: $\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$. Подставим её в числитель и знаменатель.

Преобразуем числитель: $1 - 2\sin\frac{x}{2} - \cos x = 1 - 2\sin\frac{x}{2} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{2}) = 1 - 2\sin\frac{x}{2} - 1 + 2\sin^2\frac{x}{2} = 2\sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2} - 1)$.

Преобразуем знаменатель: $1 + 2\sin\frac{x}{2} - \cos x = 1 + 2\sin\frac{x}{2} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{2}) = 1 + 2\sin\frac{x}{2} - 1 + 2\sin^2\frac{x}{2} = 2\sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2} + 1)$.

Разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{2\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2} - 1)}{2\sin\frac{x}{2}(\sin\frac{x}{2} + 1)} = \frac{\sin\frac{x}{2} - 1}{\sin\frac{x}{2} + 1}$

Вынесем знак минус в числителе, чтобы привести выражение к известному виду: $\frac{-(1 - \sin\frac{x}{2})}{1 + \sin\frac{x}{2}}$.

Воспользуемся тождеством из пункта 2: $\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$.

$-\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x/2}{2}\right) = -\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right)$

Ответ: $-\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right)$.

4.122. Выразите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\text{tg}\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$ через $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$.

Для выражения тригонометрических функций угла $α$ через тангенс половинного угла $tg(\frac{α}{2})$ используются формулы универсальной тригонометрической подстановки. Они выводятся из формул двойного угла и основного тригонометрического тождества.

sinα

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(α) = 2sin(\frac{α}{2})cos(\frac{α}{2})$.
Представим это выражение в виде дроби, разделив его на 1, где $1 = sin^2(\frac{α}{2}) + cos^2(\frac{α}{2})$ (основное тригонометрическое тождество):
$sin(α) = \frac{2sin(\frac{α}{2})cos(\frac{α}{2})}{sin^2(\frac{α}{2}) + cos^2(\frac{α}{2})}$
Разделим числитель и знаменатель дроби на $cos^2(\frac{α}{2})$ (при условии, что $cos(\frac{α}{2}) \neq 0$):
$sin(α) = \frac{\frac{2sin(\frac{α}{2})cos(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})}}{\frac{sin^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})} + \frac{cos^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})}} = \frac{2\frac{sin(\frac{α}{2})}{cos(\frac{α}{2})}}{tan^2(\frac{α}{2}) + 1}$
Упрощая, получаем итоговую формулу.

Ответ: $sin(α) = \frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}$.

cosα

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(α) = cos^2(\frac{α}{2}) - sin^2(\frac{α}{2})$.
Аналогично предыдущему пункту, разделим выражение на $1 = cos^2(\frac{α}{2}) + sin^2(\frac{α}{2})$:
$cos(α) = \frac{cos^2(\frac{α}{2}) - sin^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2}) + sin^2(\frac{α}{2})}$
Разделим числитель и знаменатель дроби на $cos^2(\frac{α}{2})$:
$cos(α) = \frac{\frac{cos^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})} - \frac{sin^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})}}{\frac{cos^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})} + \frac{sin^2(\frac{α}{2})}{cos^2(\frac{α}{2})}} = \frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}$
Таким образом, получаем формулу для косинуса.

Ответ: $cos(α) = \frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}$.

tgα

Для тангенса можно использовать напрямую формулу двойного угла:
$tg(α) = tg(2 \cdot \frac{α}{2}) = \frac{2tg(\frac{α}{2})}{1 - tg^2(\frac{α}{2})}$
Либо можно получить тот же результат, разделив ранее найденные выражения для $sin(α)$ и $cos(α)$:
$tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{\frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}}{\frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{1 + tan^2(\frac{α}{2})}} = \frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 - tan^2(\frac{α}{2})}$

Ответ: $tg(α) = \frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 - tan^2(\frac{α}{2})}$.

ctgα

Котангенс является обратной функцией к тангенсу, т.е. $ctg(α) = \frac{1}{tg(α)}$.
Используя полученную выше формулу для $tg(α)$, находим выражение для $ctg(α)$:
$ctg(α) = \frac{1}{\frac{2tan(\frac{α}{2})}{1 - tan^2(\frac{α}{2})}} = \frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{2tan(\frac{α}{2})}$

Ответ: $ctg(α) = \frac{1 - tan^2(\frac{α}{2})}{2tan(\frac{α}{2})}$.

4.123. Найдите значение выражения $\frac{2 \sin \alpha - 3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}=3$.

Для нахождения значения выражения можно использовать один из двух основных способов. Рассмотрим оба.

Способ 1: Использование универсальной тригонометрической подстановки
Выразим $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ через тангенс половинного угла $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$, используя следующие формулы:
$\sin\alpha = \frac{2\text{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$
$\cos\alpha = \frac{1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$
По условию, $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 3$. Подставим это значение в формулы:
$\sin\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 3^2} = \frac{6}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$\cos\alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$
Теперь подставим найденные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в исходное выражение:
$\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{4\sin\alpha + 5\cos\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{3}{5} - 3 \cdot (-\frac{4}{5})}{4 \cdot \frac{3}{5} + 5 \cdot (-\frac{4}{5})} = \frac{\frac{6}{5} + \frac{12}{5}}{\frac{12}{5} - \frac{20}{5}} = \frac{\frac{18}{5}}{-\frac{8}{5}} = \frac{18}{5} \cdot (-\frac{5}{8}) = -\frac{18}{8} = -\frac{9}{4}$.

Способ 2: Преобразование выражения к тангенсу
Разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это действие допустимо, поскольку если предположить, что $\cos\alpha = 0$, то $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для целого $k$. Тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, и $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$ будет равен $1$ или $-1$, что противоречит условию $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 3$. Следовательно, $\cos\alpha \neq 0$.
$\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{4\sin\alpha + 5\cos\alpha} = \frac{\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{4\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{5\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\text{tg}\alpha - 3}{4\text{tg}\alpha + 5}$.
Теперь найдем значение $\text{tg}\alpha$, используя формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}\alpha = \text{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \frac{2\text{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$.
Подставим данное в условии значение $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 3$:
$\text{tg}\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.
Наконец, подставим найденное значение $\text{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$ в преобразованное выражение:
$\frac{2(-\frac{3}{4}) - 3}{4(-\frac{3}{4}) + 5} = \frac{-\frac{6}{4} - 3}{-3 + 5} = \frac{-\frac{3}{2} - \frac{6}{2}}{2} = \frac{-\frac{9}{2}}{2} = -\frac{9}{4}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $-\frac{9}{4}$.