Страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие формулы называются формулами сложения?

2. Приведите доказательство формул (4)–(8).

1. Формулами сложения в тригонометрии называют формулы, которые выражают тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) от суммы или разности двух углов через тригонометрические функции этих углов. Они являются фундаментальными тождествами в тригонометрии.
Основные формулы сложения:
1. Косинус разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $
2. Косинус суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $
3. Синус суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $
4. Синус разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $
5. Тангенс суммы: $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} $
6. Тангенс разности: $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} $

Ответ: Формулы сложения — это формулы, выражающие тригонометрические функции от суммы или разности углов ($ \alpha \pm \beta $) через тригонометрические функции самих углов $ \alpha $ и $ \beta $.

2. Для доказательства формул (4)–(8) будем считать, что следующие формулы (обычно доказываемые первыми) уже известны:
- Формула косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $ (1)
- Формула косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $ (2)
- Формула синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $ (3)

Доказательство формулы (4): Синус разности $ \sin(\alpha - \beta) $
Представим разность $ \alpha - \beta $ как сумму $ \alpha + (-\beta) $ и применим формулу синуса суммы (3):
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + (-\beta)) = \sin\alpha \cos(-\beta) + \cos\alpha \sin(-\beta) $
Так как косинус — четная функция ($ \cos(-x) = \cos x $), а синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), получим:
$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha(-\sin\beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $
Таким образом, $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $. Формула (4) доказана.

Доказательство формулы (5): Тангенс суммы $ \tan(\alpha + \beta) $
Используем определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, а также формулы синуса суммы (3) и косинуса суммы (2). Доказательство справедливо при условии, что $ \cos(\alpha + \beta) \neq 0 $.
$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta} $
Разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $ \cos\alpha\cos\beta $, предполагая, что $ \cos\alpha \neq 0 $ и $ \cos\beta \neq 0 $:
$ \frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} $
Таким образом, $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} $. Формула (5) доказана.

Доказательство формулы (6): Тангенс разности $ \tan(\alpha - \beta) $
Используем уже доказанную формулу тангенса суммы (5), представив разность $ \alpha - \beta $ как $ \alpha + (-\beta) $:
$ \tan(\alpha - \beta) = \tan(\alpha + (-\beta)) = \frac{\tan\alpha + \tan(-\beta)}{1 - \tan\alpha\tan(-\beta)} $
Так как тангенс — нечетная функция ($ \tan(-x) = -\tan x $), получаем:
$ \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 - \tan\alpha(-\tan\beta)} = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} $
Таким образом, $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} $. Формула (6) доказана.

Доказательство формулы (7): Котангенс суммы $ \cot(\alpha + \beta) $
Используем определение котангенса $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $, а также формулы (2) и (3). Доказательство справедливо при условии, что $ \sin(\alpha + \beta) \neq 0 $.
$ \cot(\alpha + \beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta} $
Разделим числитель и знаменатель на произведение $ \sin\alpha\sin\beta $, предполагая, что $ \sin\alpha \neq 0 $ и $ \sin\beta \neq 0 $:
$ \frac{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}}{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta}} = \frac{\cot\alpha\cot\beta - 1}{\cot\beta + \cot\alpha} $
Таким образом, $ \cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta - 1}{\cot\alpha + \cot\beta} $. Формула (7) доказана.

Доказательство формулы (8): Котангенс разности $ \cot(\alpha - \beta) $
Используем доказанную формулу (7), представив разность как сумму $ \alpha + (-\beta) $:
$ \cot(\alpha - \beta) = \cot(\alpha + (-\beta)) = \frac{\cot\alpha\cot(-\beta) - 1}{\cot\alpha + \cot(-\beta)} $
Так как котангенс — нечетная функция ($ \cot(-x) = -\cot x $), получаем:
$ \frac{\cot\alpha(-\cot\beta) - 1}{\cot\alpha - \cot\beta} = \frac{-(\cot\alpha\cot\beta + 1)}{-(\cot\beta - \cot\alpha)} = \frac{\cot\alpha\cot\beta + 1}{\cot\beta - \cot\alpha} $
Таким образом, $ \cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta + 1}{\cot\beta - \cot\alpha} $. Формула (8) доказана.

Ответ: Формулы (4)–(8) выводятся из основных формул сложения для синуса и косинуса с использованием алгебраических преобразований, определений тангенса и котангенса, а также свойств четности и нечетности тригонометрических функций. Доказанные формулы:
(4) $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $
(5) $ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} $
(6) $ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} $
(7) $ \cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta - 1}{\cot\alpha + \cot\beta} $
(8) $ \cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta + 1}{\cot\beta - \cot\alpha} $

Практическая работа

С 2016 года банк выплачивает 10,5% от суммы вклада в тенге. Сколько денег получит вкладчик через 2 года, если первоначальная сумма вклада составляет 1 000 000 тг?

Для решения данной задачи необходимо рассчитать итоговую сумму на вкладе через два года с учетом ежегодной капитализации процентов. Это означает, что проценты за второй год начисляются на сумму, которая включает в себя первоначальный вклад и проценты за первый год. Такой вид начисления называется сложными процентами.

Дано:

- Первоначальная сумма вклада ($P$): 1 000 000 тг

- Годовая процентная ставка ($r$): 10,5% или 0,105 в десятичном виде

- Срок вклада ($t$): 2 года

Решение по шагам:

1. Рассчитаем сумму на счете после первого года. Проценты за первый год составят:

$1 000 000 \text{ тг} \cdot 10,5\% = 1 000 000 \cdot 0,105 = 105 000 \text{ тг}$

Сумма на счете в конце первого года будет:

$1 000 000 + 105 000 = 1 105 000 \text{ тг}$

2. Рассчитаем сумму на счете после второго года. Теперь проценты начисляются на новую сумму (1 105 000 тг):

$1 105 000 \text{ тг} \cdot 10,5\% = 1 105 000 \cdot 0,105 = 116 025 \text{ тг}$

Итоговая сумма на счете в конце второго года:

$1 105 000 + 116 025 = 1 221 025 \text{ тг}$

Решение с использованием формулы сложных процентов:

Формула для расчета итоговой суммы ($A$) выглядит так:

$A = P \cdot (1 + r)^t$

Подставим наши значения в формулу:

$A = 1 000 000 \cdot (1 + 0,105)^2$

$A = 1 000 000 \cdot (1,105)^2$

$A = 1 000 000 \cdot 1,221025$

$A = 1 221 025 \text{ тг}$

Оба способа дают одинаковый результат, подтверждая правильность расчетов.

Ответ: Через 2 года вкладчик получит 1 221 025 тг.