Страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.81. Докажите тождества:

1)

$\frac{1+2\sin\alpha\cos\alpha}{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}=1;$

2)

$\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + 1}{\sin^2\alpha}=2;$

3)

$(2-\sin\alpha)(2+\sin\alpha)+(2-\cos\alpha)(2+\cos\alpha)=7;$

4)

$\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha.$

1) Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Раскроем квадрат суммы в знаменателе: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$. Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем знаменатель равный $( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$. Таким образом, вся дробь равна $\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha} = 1$. Левая часть равна правой ($1=1$), что и требовалось доказать. Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть. В числителе сгруппируем слагаемые: $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + 1 = \sin^2\alpha + (1 - \cos^2\alpha)$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Подставив это в числитель, получим $\sin^2\alpha + \sin^2\alpha = 2\sin^2\alpha$. Тогда всё выражение равно $\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2$. Левая часть равна правой ($2=2$), что и требовалось доказать. Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть. Каждое произведение является разностью квадратов вида $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Первое слагаемое: $(2-\sin\alpha)(2+\sin\alpha) = 2^2 - \sin^2\alpha = 4 - \sin^2\alpha$. Второе слагаемое: $(2-\cos\alpha)(2+\cos\alpha) = 2^2 - \cos^2\alpha = 4 - \cos^2\alpha$. Сумма этих слагаемых: $(4 - \sin^2\alpha) + (4 - \cos^2\alpha) = 8 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 8 - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$. Используя, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $8 - 1 = 7$. Левая часть равна правой ($7=7$), что и требовалось доказать. Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть. Выражение $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$ является разностью квадратов: $(\sin^2\alpha)^2 - (\cos^2\alpha)^2$. Разложим его на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$. Так как по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается до $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot 1 = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$. Левая часть равна правой, что и требовалось доказать. Ответ: тождество доказано.

4.82. Докажите тождества:

1) $ctg\alpha + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha};$

2) $\frac{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \sin \alpha - \cos \alpha;$

3) $\frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{1}{tg^2 x};$

4) $\frac{ctg x}{ctg x + tg x} = \cos^2 x.$

1) Докажем тождество, преобразуя его левую часть $ \ctg\alpha + \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} $.

Заменим $ \ctg\alpha $ на $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:
$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha(1 + \cos\alpha) $:
$ \frac{\cos\alpha(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} = \frac{\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:
$ \frac{\cos\alpha + 1}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} $

Сократим дробь на $ (1 + \cos\alpha) $:
$ \frac{1}{\sin\alpha} $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразуя его левую часть $ \frac{1 - 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $.

Заменим 1 в числителе, используя основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $:
$ \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $

Числитель является полным квадратом разности $ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 $:
$ \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2}{\sin\alpha - \cos\alpha} $

Сократим дробь на $ (\sin\alpha - \cos\alpha) $ (при условии, что $ \sin\alpha - \cos\alpha \neq 0 $):
$ \sin\alpha - \cos\alpha $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество, преобразуя его левую часть $ \frac{1 - \sin^2x}{1 - \cos^2x} $.

Используя следствия из основного тригонометрического тождества $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, заменим $ 1 - \sin^2x = \cos^2x $ и $ 1 - \cos^2x = \sin^2x $:
$ \frac{\cos^2x}{\sin^2x} $

Полученное выражение является квадратом котангенса:
$ (\frac{\cos x}{\sin x})^2 = \ctg^2x $

Так как $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $, то $ \ctg^2x = \frac{1}{\tg^2x} $.
$ \frac{1}{\tg^2x} $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество, преобразуя его левую часть $ \frac{\ctg x}{\ctg x + \tg x} $.

Заменим $ \ctg x $ и $ \tg x $ на их выражения через синус и косинус: $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $ и $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $:
$ \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}} $

В знаменателе приведем дроби к общему знаменателю $ \sin x \cos x $:
$ \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos^2x + \sin^2x}{\sin x \cos x}} $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $:
$ \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} $

Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):
$ \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\sin x \cos x}{1} $

Сократим $ \sin x $:
$ \cos x \cdot \cos x = \cos^2x $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4.83. Найдите наибольшие значения выражений:

1) $1-(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha);$

2) $1-\sin\alpha \cos\alpha \tan\alpha;$

3) $\cos^{2}\alpha \tan^{2}\alpha+5\cos^{2}\alpha-1;$

4) $\sin\alpha+3\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha.$

1) Упростим данное выражение, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
$1 - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$.
Чтобы найти наибольшее значение этого выражения, необходимо найти наименьшее значение функции $\cos(2\alpha)$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, наименьшее значение $\cos(2\alpha)$ равно $-1$.
Таким образом, наибольшее значение всего выражения равно: $1 - (-1) = 2$.
Ответ: 2

2) Упростим выражение, используя определение тангенса: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Заметим, что выражение определено при условии $\cos\alpha \neq 0$.
$1 - \sin\alpha \cos\alpha \tan\alpha = 1 - \sin\alpha \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 1 - \sin^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
Область значений функции $\cos\alpha$ — это $[-1; 1]$, следовательно, область значений для $\cos^2\alpha$ — это $[0; 1]$.
Наибольшее значение выражения $\cos^2\alpha$ равно 1. Это значение достигается, например, при $\alpha=0$, где $\cos(0) = 1 \neq 0$, что удовлетворяет области определения.
Ответ: 1

3) Упростим выражение. Напомним, что $\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$, и выражение определено при $\cos\alpha \neq 0$.
$\cos^2\alpha \tan^2\alpha + 5\cos^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 5\cos^2\alpha - 1 = \sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha - 1$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, выразив $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:
$(1 - \cos^2\alpha) + 5\cos^2\alpha - 1 = 4\cos^2\alpha$.
Область значений $\cos^2\alpha$ — это отрезок $[0; 1]$. Поскольку по области определения $\cos\alpha \neq 0$, то $\cos^2\alpha \neq 0$. Таким образом, значения $\cos^2\alpha$ принадлежат полуинтервалу $(0; 1]$.
Наибольшее значение выражения $4\cos^2\alpha$ достигается при наибольшем значении $\cos^2\alpha$, то есть при $\cos^2\alpha = 1$.
Наибольшее значение равно $4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: 4

4) Упростим данное выражение. Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 3 за скобки:
$\sin\alpha + 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = \sin\alpha + 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin\alpha + 3(1) = \sin\alpha + 3$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$.
Чтобы найти наибольшее значение выражения $\sin\alpha + 3$, нужно взять наибольшее значение $\sin\alpha$, которое равно 1.
Наибольшее значение всего выражения равно: $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4

4.84. Вычислите:

1) $1+\sin \frac{\pi}{6}+\sin ^{2} \frac{\pi}{6}+\sin ^{3} \frac{\pi}{6}$;

2) $1-\cos \frac{\pi}{4}+\cos ^{2} \frac{\pi}{4}-\cos ^{3} \frac{\pi}{4}$;

3) $1-\operatorname{tg} \frac{\pi}{6}+\operatorname{tg}^{2} \frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}^{3} \frac{\pi}{6}$;

4) $1+\cos \frac{\pi}{6}+\cos ^{2} \frac{\pi}{6}+\cos ^{3} \frac{\pi}{6}$.

1) $1 + \sin\frac{\pi}{6} + \sin^2\frac{\pi}{6} + \sin^3\frac{\pi}{6}$

Для вычисления данного выражения, в первую очередь найдем значение $\sin\frac{\pi}{6}$.
Известно, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (или 30°) равно $\frac{1}{2}$.
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$1 + \sin\frac{\pi}{6} + \sin^2\frac{\pi}{6} + \sin^3\frac{\pi}{6} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3$
Вычислим степени:
$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
Чтобы сложить дроби, приведем все слагаемые к общему знаменателю, который равен 8:
$= \frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8+4+2+1}{8} = \frac{15}{8}$.
Ответ: $\frac{15}{8}$.

2) $1 - \cos\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4} - \cos^3\frac{\pi}{4}$

Найдем значение $\cos\frac{\pi}{4}$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим это значение в выражение:
$1 - \cos\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4} - \cos^3\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3$
Вычислим степени:
$= 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{8}$
Упростим дроби:
$= 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$
Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:
$= \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$
Выполним сложение в каждой группе, приведя к общему знаменателю:
$= \frac{3}{2} - \left(\frac{2\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4}$
Приведем к общему знаменателю 4:
$= \frac{6}{4} - \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{4}$.
Можно вынести общий множитель 3 за скобки: $\frac{3(2 - \sqrt{2})}{4}$.
Ответ: $\frac{6 - 3\sqrt{2}}{4}$.

3) $1 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} + \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}^3\frac{\pi}{6}$

Найдем значение $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Подставим это значение в выражение:
$1 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} + \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}^3\frac{\pi}{6} = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3$
Вычислим степени:
$= 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3\sqrt{3}}$
Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:
$= \left(1 + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right)$
Выполним сложение в каждой группе:
$= \frac{4}{3} - \left(\frac{3}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3} - \frac{4}{3\sqrt{3}}$
Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}$ за скобки:
$= \frac{4}{3}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3}\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$= \frac{4(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{4(3-\sqrt{3})}{3 \cdot 3} = \frac{4(3-\sqrt{3})}{9}$.
Ответ: $\frac{4(3-\sqrt{3})}{9}$.

4) $1 + \cos\frac{\pi}{6} + \cos^2\frac{\pi}{6} + \cos^3\frac{\pi}{6}$

Найдем значение $\cos\frac{\pi}{6}$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим это значение в выражение:
$1 + \cos\frac{\pi}{6} + \cos^2\frac{\pi}{6} + \cos^3\frac{\pi}{6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$
Вычислим степени:
$= 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:
$= \left(1 + \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{8}\right)$
Выполним сложение в каждой группе, приведя к общему знаменателю:
$= \left(\frac{4}{4} + \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{4\sqrt{3}}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{7}{4} + \frac{7\sqrt{3}}{8}$
Приведем к общему знаменателю 8:
$= \frac{14}{8} + \frac{7\sqrt{3}}{8} = \frac{14 + 7\sqrt{3}}{8}$.
Можно вынести общий множитель 7 за скобки: $\frac{7(2 + \sqrt{3})}{8}$.
Ответ: $\frac{14 + 7\sqrt{3}}{8}$.

4.85. Упростите выражения:

1) $\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} + \text{tg}\alpha;$

2) $\text{ctg}x + \frac{\sin x}{1+\cos x};$

3) $\frac{1-\sin^2 x}{1-\cos^2 x} + \text{tg}x \cdot \text{ctg}x;$

4) $(1-\cos^2 \alpha)\text{tg}^2 \alpha+1-\text{tg}^2 \alpha;$

5) $(\text{ctg}\alpha+\text{tg}\alpha)^2-(\text{ctg}\alpha-\text{tg}\alpha)^2;$

6) $\text{ctg}^6 x - \frac{\cos^2 x - \text{ctg}^2 x}{\sin^2 x - \text{tg}^2 x}.$

1) Для упрощения выражения приведем его к общему знаменателю. Для этого представим $ \text{tg}\alpha $ как $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

Общий знаменатель: $ (1+\sin\alpha)\cos\alpha $.

$ \frac{\cos\alpha \cdot \cos\alpha + \sin\alpha(1+\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin\alpha + \sin^2\alpha}{(1+\sin\alpha)\cos\alpha} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 $, получаем:

$ \frac{( \sin^2\alpha+\cos^2\alpha) + \sin\alpha}{(1+\sin\alpha)\cos\alpha} = \frac{1+\sin\alpha}{(1+\sin\alpha)\cos\alpha} $

Сокращаем дробь на $ (1+\sin\alpha) $:

$ \frac{1}{\cos\alpha} $

Ответ: $ \frac{1}{\cos\alpha} $.

2) Представим $ \text{ctg}x $ как $ \frac{\cos x}{\sin x} $ и приведем выражение к общему знаменателю.

$ \text{ctg}x + \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1+\cos x} $

Общий знаменатель: $ \sin x(1+\cos x) $.

$ \frac{\cos x(1+\cos x) + \sin x \cdot \sin x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x+\cos^2 x = 1 $, получаем:

$ \frac{\cos x + 1}{\sin x(1+\cos x)} $

Сокращаем дробь на $ (1+\cos x) $:

$ \frac{1}{\sin x} $

Ответ: $ \frac{1}{\sin x} $.

3) Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, из которого следуют равенства $ 1-\sin^2 x = \cos^2 x $ и $ 1-\cos^2 x = \sin^2 x $. Также используем тождество $ \text{tg}x \cdot \text{ctg}x = 1 $.

$ \frac{1-\sin^2 x}{1-\cos^2 x} + \text{tg}x \cdot \text{ctg}x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1 $

Так как $ \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \text{ctg}^2 x $, получаем:

$ \text{ctg}^2 x + 1 $

Используя тождество $ 1+\text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} $, получаем конечный результат.

Ответ: $ \frac{1}{\sin^2 x} $.

4) В выражении $ (1-\cos^2\alpha)\text{tg}^2\alpha+1-\text{tg}^2\alpha $ заменим $ 1-\cos^2\alpha $ на $ \sin^2\alpha $.

$ \sin^2\alpha \cdot \text{tg}^2\alpha+1-\text{tg}^2\alpha $

Сгруппируем члены, содержащие $ \text{tg}^2\alpha $, и вынесем его за скобки:

$ \text{tg}^2\alpha(\sin^2\alpha-1)+1 $

Так как $ \sin^2\alpha-1 = -\cos^2\alpha $, выражение принимает вид:

$ \text{tg}^2\alpha(-\cos^2\alpha)+1 $

Подставим $ \text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $:

$ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}(-\cos^2\alpha)+1 = -\sin^2\alpha+1 = 1-\sin^2\alpha $

По основному тригонометрическому тождеству $ 1-\sin^2\alpha = \cos^2\alpha $.

Ответ: $ \cos^2\alpha $.

5) Выражение $ (\text{ctg}\alpha+\text{tg}\alpha)^2-(\text{ctg}\alpha-\text{tg}\alpha)^2 $ представляет собой разность квадратов двух выражений. Можно применить формулу сокращенного умножения $ (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab $.

В данном случае $ a = \text{ctg}\alpha $ и $ b = \text{tg}\alpha $.

$ (\text{ctg}\alpha+\text{tg}\alpha)^2-(\text{ctg}\alpha-\text{tg}\alpha)^2 = 4 \cdot \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha $

Поскольку $ \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1 $, то:

$ 4 \cdot 1 = 4 $

Ответ: $ 4 $.

6) Упростим дробь $ \frac{\cos^2 x - \text{ctg}^2 x}{\sin^2 x - \text{tg}^2 x} $ отдельно.

Преобразуем числитель:

$ \cos^2 x - \text{ctg}^2 x = \cos^2 x - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x \sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x (\sin^2 x - 1)}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x (-\cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} $

Преобразуем знаменатель:

$ \sin^2 x - \text{tg}^2 x = \sin^2 x - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (\cos^2 x - 1)}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (-\sin^2 x)}{\cos^2 x} = -\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} $

Теперь найдем значение дроби:

$ \frac{-\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x}}{-\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}} = \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^4 x} = \frac{\cos^6 x}{\sin^6 x} = \text{ctg}^6 x $

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \text{ctg}^6 x - \text{ctg}^6 x = 0 $

Ответ: $ 0 $.