Номер 4.81, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.81. Докажите тождества:

1)

$\frac{1+2\sin\alpha\cos\alpha}{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}=1;$

2)

$\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + 1}{\sin^2\alpha}=2;$

3)

$(2-\sin\alpha)(2+\sin\alpha)+(2-\cos\alpha)(2+\cos\alpha)=7;$

4)

$\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha.$

1) Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Раскроем квадрат суммы в знаменателе: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$. Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем знаменатель равный $( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$. Таким образом, вся дробь равна $\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha} = 1$. Левая часть равна правой ($1=1$), что и требовалось доказать. Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть. В числителе сгруппируем слагаемые: $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + 1 = \sin^2\alpha + (1 - \cos^2\alpha)$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Подставив это в числитель, получим $\sin^2\alpha + \sin^2\alpha = 2\sin^2\alpha$. Тогда всё выражение равно $\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2$. Левая часть равна правой ($2=2$), что и требовалось доказать. Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть. Каждое произведение является разностью квадратов вида $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Первое слагаемое: $(2-\sin\alpha)(2+\sin\alpha) = 2^2 - \sin^2\alpha = 4 - \sin^2\alpha$. Второе слагаемое: $(2-\cos\alpha)(2+\cos\alpha) = 2^2 - \cos^2\alpha = 4 - \cos^2\alpha$. Сумма этих слагаемых: $(4 - \sin^2\alpha) + (4 - \cos^2\alpha) = 8 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 8 - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$. Используя, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $8 - 1 = 7$. Левая часть равна правой ($7=7$), что и требовалось доказать. Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть. Выражение $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$ является разностью квадратов: $(\sin^2\alpha)^2 - (\cos^2\alpha)^2$. Разложим его на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$. Так как по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается до $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot 1 = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$. Левая часть равна правой, что и требовалось доказать. Ответ: тождество доказано.