Номер 4.77, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.77. Решите неравенства:

1) $\frac{2x^2 - 7x + 5}{4 - x^2} < 0$;

2) $\frac{3x^2 + 4x - 7}{x^2 + 8x + 7} \le 0$.

1)

Решим неравенство $\frac{2x^2 - 7x + 5}{4 - x^2} < 0$.

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{4} = 1$;

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

2. Найдем корни знаменателя $4 - x^2 = 0$.

Это разность квадратов: $(2 - x)(2 + x) = 0$.

Корни уравнения: $x_3 = -2$, $x_4 = 2$.

Эти значения $x$ не входят в область определения функции, поэтому на числовой оси они будут "выколотыми" точками.

3. Нанесем все найденные корни на числовую ось в порядке возрастания: -2, 1, 2, 2.5. Так как неравенство строгое ($<$), все точки будут выколотыми.

Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 2.5)$, $(2.5, +\infty)$.

4. Определим знак выражения $f(x) = \frac{2x^2 - 7x + 5}{4 - x^2}$ на каждом интервале. Для этого можно взять любую точку из интервала.

Например, при $x > 2.5$ (возьмем $x = 3$): $f(3) = \frac{2(3)^2 - 7(3) + 5}{4 - (3)^2} = \frac{18 - 21 + 5}{4 - 9} = \frac{2}{-5} < 0$.

Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах будут чередоваться.

Таким образом, знаки на интервалах (слева направо): минус, плюс, минус, плюс, минус.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых неравенство $f(x) < 0$ истинно. Это соответствует интервалам со знаком "минус".

Из схемы видно, что это интервалы $(-\infty, -2)$, $(1, 2)$ и $(2.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (2.5; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\frac{3x^2 + 4x - 7}{x^2 + 8x + 7} \le 0$.

Используем метод интервалов.

1. Найдем корни числителя $3x^2 + 4x - 7 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$;

$x_2 = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки будут "закрашенными", то есть войдут в решение.

2. Найдем корни знаменателя $x^2 + 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение 7. Корни: $x_3 = -7$, $x_4 = -1$.

Эти значения $x$ не входят в область определения, поэтому на числовой оси они будут "выколотыми" точками.

3. Нанесем все найденные корни на числовую ось в порядке возрастания: -7, -7/3, -1, 1.

Точки -7 и -1 выколоты, а точки -7/3 и 1 закрашены.

4. Определим знак выражения $g(x) = \frac{3x^2 + 4x - 7}{x^2 + 8x + 7}$ на каждом интервале.

При $x > 1$ (возьмем $x = 2$): $g(2) = \frac{3(2)^2 + 4(2) - 7}{(2)^2 + 8(2) + 7} = \frac{12 + 8 - 7}{4 + 16 + 7} = \frac{13}{27} > 0$.

Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах чередуются.

Таким образом, знаки на интервалах (слева направо): плюс, минус, плюс, минус, плюс.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых $g(x) \le 0$. Это соответствует интервалам со знаком "минус", а также закрашенным точкам.

Из схемы видно, что это интервалы $(-7, -7/3)$ и $(-1, 1)$. Включаем концы, где точки закрашены.

Получаем объединение: $(-7; -7/3] \cup (-1; 1]$.

Ответ: $x \in (-7; -7/3] \cup (-1; 1]$.