Номер 4.82, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.82. Докажите тождества:

1) $ctg\alpha + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha};$

2) $\frac{1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \sin \alpha - \cos \alpha;$

3) $\frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{1}{tg^2 x};$

4) $\frac{ctg x}{ctg x + tg x} = \cos^2 x.$

1) Докажем тождество, преобразуя его левую часть $ \ctg\alpha + \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} $.

Заменим $ \ctg\alpha $ на $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:
$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha(1 + \cos\alpha) $:
$ \frac{\cos\alpha(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} = \frac{\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:
$ \frac{\cos\alpha + 1}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} $

Сократим дробь на $ (1 + \cos\alpha) $:
$ \frac{1}{\sin\alpha} $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразуя его левую часть $ \frac{1 - 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $.

Заменим 1 в числителе, используя основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $:
$ \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $

Числитель является полным квадратом разности $ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 $:
$ \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2}{\sin\alpha - \cos\alpha} $

Сократим дробь на $ (\sin\alpha - \cos\alpha) $ (при условии, что $ \sin\alpha - \cos\alpha \neq 0 $):
$ \sin\alpha - \cos\alpha $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество, преобразуя его левую часть $ \frac{1 - \sin^2x}{1 - \cos^2x} $.

Используя следствия из основного тригонометрического тождества $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, заменим $ 1 - \sin^2x = \cos^2x $ и $ 1 - \cos^2x = \sin^2x $:
$ \frac{\cos^2x}{\sin^2x} $

Полученное выражение является квадратом котангенса:
$ (\frac{\cos x}{\sin x})^2 = \ctg^2x $

Так как $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $, то $ \ctg^2x = \frac{1}{\tg^2x} $.
$ \frac{1}{\tg^2x} $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество, преобразуя его левую часть $ \frac{\ctg x}{\ctg x + \tg x} $.

Заменим $ \ctg x $ и $ \tg x $ на их выражения через синус и косинус: $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $ и $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $:
$ \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}} $

В знаменателе приведем дроби к общему знаменателю $ \sin x \cos x $:
$ \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos^2x + \sin^2x}{\sin x \cos x}} $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $:
$ \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} $

Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):
$ \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\sin x \cos x}{1} $

Сократим $ \sin x $:
$ \cos x \cdot \cos x = \cos^2x $

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.