Номер 4.89, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.89. Найдите значения выражений, если $tg\alpha=2:$

1) $\frac{3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha}{4 \sin \alpha + \cos \alpha}$;

2) $\frac{2 \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{3 \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha}$;

3) $\frac{\sin^3 \alpha - 2 \cos^3 \alpha}{2 \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}$;

4) $\frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha) \operatorname{ctg}^2 \alpha}$

Для решения всех задач воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Поскольку $\text{tg}\alpha=2$, это означает, что $\cos\alpha \neq 0$, и мы можем делить на него выражения.

1) Найдем значение выражения $\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{4\sin\alpha + \cos\alpha}$.

Чтобы выразить его через тангенс, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$:

$\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{4\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{4\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{4\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{3\text{tg}\alpha - 5}{4\text{tg}\alpha + 1}$

Теперь подставим заданное значение $\text{tg}\alpha=2$ в полученное выражение:

$\frac{3 \cdot 2 - 5}{4 \cdot 2 + 1} = \frac{6 - 5}{8 + 1} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) Найдем значение выражения $\frac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}$.

Это однородное выражение второй степени. Разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\alpha$:

$\frac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha} = \frac{\frac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{3\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 2\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2\text{tg}^2\alpha - \text{tg}\alpha}{3\text{tg}^2\alpha + 2}$

Подставим $\text{tg}\alpha=2$:

$\frac{2 \cdot 2^2 - 2}{3 \cdot 2^2 + 2} = \frac{2 \cdot 4 - 2}{3 \cdot 4 + 2} = \frac{8 - 2}{12 + 2} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$

3) Найдем значение выражения $\frac{\sin^3\alpha - 2\cos^3\alpha}{2\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}$.

Это однородное выражение третьей степени. Разделим числитель и знаменатель на $\cos^3\alpha$:

$\frac{\sin^3\alpha - 2\cos^3\alpha}{2\sin^3\alpha + \cos^3\alpha} = \frac{\frac{\sin^3\alpha - 2\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{2\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} - 2\frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}}{2\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + \frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\text{tg}^3\alpha - 2}{2\text{tg}^3\alpha + 1}$

Подставим $\text{tg}\alpha=2$:

$\frac{2^3 - 2}{2 \cdot 2^3 + 1} = \frac{8 - 2}{2 \cdot 8 + 1} = \frac{6}{16 + 1} = \frac{6}{17}$

Ответ: $\frac{6}{17}$

4) Найдем значение выражения $\frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)\text{ctg}^2\alpha}$.

Сначала найдем значение котангенса, зная, что $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$.

При $\text{tg}\alpha=2$, получаем $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{2}$. Тогда $\text{ctg}^2\alpha = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha) \cdot \frac{1}{4}} = \frac{4(\sin\alpha + 3\cos\alpha)}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Теперь, как и в первом пункте, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$:

$\frac{4(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha})}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{4(\text{tg}\alpha + 3)}{\text{tg}\alpha - 1}$

Подставим $\text{tg}\alpha=2$:

$\frac{4(2 + 3)}{2 - 1} = \frac{4 \cdot 5}{1} = 20$

Ответ: $20$