Номер 4.94, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.94. Изобразите фигуру, заданную системой неравенств

$\begin{cases} x + 2y \le 4, \\ y \ge x^2 + 6x - 7 \end{cases}$

Для того чтобы изобразить фигуру, заданную системой неравенств, необходимо построить графики граничных функций и определить область, удовлетворяющую обоим неравенствам.

Система неравенств:

$$ \begin{cases} x + 2y \le 4 \\ y \ge x^2 + 6x - 7 \end{cases} $$

Анализ первого неравенства: $x + 2y \le 4$

Это линейное неравенство. Границей области является прямая $x + 2y = 4$. Приведем уравнение прямой к виду с угловым коэффициентом:

$2y = -x + 4$

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Это прямая с угловым коэффициентом $k = -1/2$ и пересечением с осью $y$ в точке $(0, 2)$. Для построения прямой найдем еще одну точку, например, точку пересечения с осью $x$ (при $y=0$): $x = 4$. Точка $(4, 0)$.

Чтобы определить, какая из полуплоскостей является решением неравенства $x + 2y \le 4$, возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$.

$0 + 2 \cdot 0 \le 4 \implies 0 \le 4$.

Неравенство верное, следовательно, решением является полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, то есть область под прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2$, включая саму прямую.

Анализ второго неравенства: $y \ge x^2 + 6x - 7$

Это квадратичное неравенство. Границей является парабола $y = x^2 + 6x - 7$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

$y_v = (-3)^2 + 6(-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$

Вершина параболы находится в точке $(-3, -16)$.

Неравенство $y \ge x^2 + 6x - 7$ означает, что решением является область над параболой, включая саму параболу.

Построение искомой фигуры

Искомая фигура — это пересечение двух областей, найденных выше. То есть, это все точки, которые находятся одновременно и под прямой (или на ней), и над параболой (или на ней). Для точного построения найдем точки пересечения прямой и параболы, решив систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + 2 \\ y = x^2 + 6x - 7 \end{cases} $$

$x^2 + 6x - 7 = -\frac{1}{2}x + 2$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 + 12x - 14 = -x + 4$

$2x^2 + 13x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 169 + 144 = 313$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{313}}{4}$

Таким образом, абсциссы точек пересечения: $x_1 = \frac{-13 - \sqrt{313}}{4} \approx -7.67$ и $x_2 = \frac{-13 + \sqrt{313}}{4} \approx 1.17$.

Найдем соответствующие ординаты из уравнения прямой:

$y_1 = -\frac{1}{2}(\frac{-13 - \sqrt{313}}{4}) + 2 = \frac{13 + \sqrt{313}}{8} + \frac{16}{8} = \frac{29 + \sqrt{313}}{8} \approx 5.84$

$y_2 = -\frac{1}{2}(\frac{-13 + \sqrt{313}}{4}) + 2 = \frac{13 - \sqrt{313}}{8} + \frac{16}{8} = \frac{29 - \sqrt{313}}{8} \approx 1.41$

Точки пересечения: $A(\frac{-13 - \sqrt{313}}{4}, \frac{29 + \sqrt{313}}{8})$ и $B(\frac{-13 + \sqrt{313}}{4}, \frac{29 - \sqrt{313}}{8})$.

Искомая фигура ограничена снизу дугой параболы $y = x^2 + 6x - 7$ и сверху отрезком прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2$ между точками их пересечения A и B.

Ответ:

Фигура, заданная системой неравенств, представляет собой область на координатной плоскости, ограниченную снизу параболой $y = x^2 + 6x - 7$ и сверху прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2$. Графическое изображение фигуры (закрашенная область) представлено ниже.