Номер 4.98, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.98. Упростите выражения:

1) $ \cos 5x \cos 2x + \sin 5x \sin 2x $;

2) $ \cos 3x \cos x - \sin 3x \sin x $;

3) $ \cos \beta \sin 5\beta - \sin \beta \cos 5\beta $;

4) $ \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 3\alpha $.

1) Для упрощения выражения $ \cos5x \cos2x + \sin5x \sin2x $ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

В нашем случае $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 2x $.

Тогда выражение принимает вид:

$ \cos5x \cos2x + \sin5x \sin2x = \cos(5x - 2x) = \cos(3x) $.

Ответ: $ \cos(3x) $.

2) Для упрощения выражения $ \cos3x \cos x - \sin3x \sin x $ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $.

Таким образом, получаем:

$ \cos3x \cos x - \sin3x \sin x = \cos(3x + x) = \cos(4x) $.

Ответ: $ \cos(4x) $.

3) Для упрощения выражения $ \cos\beta \sin5\beta - \sin\beta \cos5\beta $ запишем его в виде $ \sin5\beta \cos\beta - \cos5\beta \sin\beta $. Это выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.

Здесь $ \alpha = 5\beta $ и $ \beta = \beta $.

Следовательно, выражение равно:

$ \sin5\beta \cos\beta - \cos5\beta \sin\beta = \sin(5\beta - \beta) = \sin(4\beta) $.

Ответ: $ \sin(4\beta) $.

4) Для упрощения выражения $ \sin3\alpha \cos2\alpha + \sin2\alpha \cos3\alpha $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

В этом примере $ \alpha = 3\alpha $ и $ \beta = 2\alpha $. Порядок слагаемых в исходном выражении можно поменять, чтобы он полностью соответствовал формуле: $ \sin3\alpha \cos2\alpha + \cos3\alpha \sin2\alpha $.

Подставив значения в формулу, получим:

$ \sin3\alpha \cos2\alpha + \cos3\alpha \sin2\alpha = \sin(3\alpha + 2\alpha) = \sin(5\alpha) $.

Ответ: $ \sin(5\alpha) $.