Номер 4.99, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.99. Упростите выражения:

1) $ \sin(x+y)-\cos x \sin y; $

2) $ \cos(x-y)-\sin x \sin y; $

3) $ \sin\alpha \cos\beta-\sin(\alpha-\beta); $

4) $ \cos\alpha \cos\beta-\cos(\alpha-\beta). $

1) Для упрощения выражения $ \sin(x+y)-\cos x \sin y $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ (\sin x \cos y + \cos x \sin y) - \cos x \sin y $
Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ \sin x \cos y + \cos x \sin y - \cos x \sin y = \sin x \cos y $
Слагаемые $ \cos x \sin y $ и $ -\cos x \sin y $ взаимно уничтожаются.
Ответ: $ \sin x \cos y $

2) Для упрощения выражения $ \cos(x-y)-\sin x \sin y $ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ (\cos x \cos y + \sin x \sin y) - \sin x \sin y $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ \cos x \cos y + \sin x \sin y - \sin x \sin y = \cos x \cos y $
Слагаемые $ \sin x \sin y $ и $ -\sin x \sin y $ взаимно уничтожаются.
Ответ: $ \cos x \cos y $

3) Для упрощения выражения $ \sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha-\beta) $ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ \sin \alpha \cos \beta - (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) $
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед ними:
$ \sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $
Приведем подобные слагаемые, в результате чего $ \sin \alpha \cos \beta $ и $ -\sin \alpha \cos \beta $ сокращаются:
$ \cos \alpha \sin \beta $
Ответ: $ \cos \alpha \sin \beta $

4) Для упрощения выражения $ \cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha-\beta) $ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$ \cos \alpha \cos \beta - (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) $
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$ \cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
Приведем подобные слагаемые, в результате чего $ \cos \alpha \cos \beta $ и $ -\cos \alpha \cos \beta $ сокращаются:
$ -\sin \alpha \sin \beta $
Ответ: $ -\sin \alpha \sin \beta $