Номер 4.100, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.100. Упростите выражения:

1) $\frac{\text{tg}2x + \text{tg}3x}{1 - \text{tg}2x\text{tg}3x}$;

2) $\frac{\text{tg}5x - \text{tg}2x}{1 + \text{tg}2x\text{tg}5x}$;

3) $\frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}$;

4) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$;

5) $\frac{\text{cos}\frac{3\pi}{8}\text{cos}\frac{\pi}{8} - \text{sin}\frac{3\pi}{8}\text{sin}\frac{\pi}{8}}{\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)}$;

6) $\frac{\text{cos}\frac{5\pi}{6}\text{cos}\frac{\pi}{3} + \text{sin}\frac{5\pi}{6}\text{sin}\frac{\pi}{3}}{\text{tg}\left(\frac{3\pi}{4} - \alpha\right)}$.

1) Исходное выражение имеет вид $\frac{\text{tg}2x + \text{tg}3x}{1 - \text{tg}2x\text{tg}3x}$. Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$. В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$. Тогда выражение можно упростить следующим образом: $\frac{\text{tg}2x + \text{tg}3x}{1 - \text{tg}2x\text{tg}3x} = \text{tg}(2x + 3x) = \text{tg}(5x)$. Ответ: $\text{tg}(5x)$.

2) Исходное выражение: $\frac{\text{tg}5x - \text{tg}2x}{1 + \text{tg}2x\text{tg}5x}$. Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$. В данном случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 2x$. Применяя формулу, получаем: $\frac{\text{tg}5x - \text{tg}2x}{1 + \text{tg}2x\text{tg}5x} = \text{tg}(5x - 2x) = \text{tg}(3x)$. Ответ: $\text{tg}(3x)$.

3) Исходное выражение: $\frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}$. Зная, что $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, мы можем переписать выражение: $\frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \text{tg}x}{1 + \text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{tg}x}$. Это соответствует формуле тангенса разности $\text{tg}(\alpha - \beta)$ с $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x$. Таким образом, выражение равно $\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)$. Ответ: $\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)$.

4) Исходное выражение: $\text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x)$. Применим формулы тангенса суммы и разности. $\text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}) + \text{tg}x}{1 - \text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{tg}x} = \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x}$. $\text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \text{tg}x}{1 + \text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{tg}x} = \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}$. Перемножим полученные выражения: $(\frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x}) \cdot (\frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x}) = 1$. Ответ: $1$.

5) Исходное выражение: $\frac{\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}}{\text{tg}(\frac{\pi}{4} + \beta)}$. Числитель дроби имеет вид $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, что является формулой косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta)$. Здесь $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$. Таким образом, числитель равен $\cos(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{4\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{2})$. Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, всё выражение равно 0 (при условии, что знаменатель не равен нулю). Ответ: $0$.

6) Исходное выражение: $\frac{\cos\frac{5\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} + \sin\frac{5\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}}{\text{tg}(\frac{3\pi}{4} - \alpha)}$. Числитель дроби имеет вид $\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, что является формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta)$. Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$. Таким образом, числитель равен $\cos(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2})$. Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, всё выражение равно 0 (при условии, что знаменатель не равен нулю). Ответ: $0$.