Номер 4.107, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.107. Найдите:

1) cosy, если $cosx=0,6$, $cos(x+y)=0$, $0

2) $\alpha+\beta$, если $tg\alpha=0,5$, $tg\beta=\frac{1}{3}$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$;

3) $\alpha-\beta$, если $sin\alpha=\frac{40}{41}$, $sin\beta=-\frac{9}{41}$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}<\beta<0$;

4) $\alpha+\beta$, $tg\alpha=3$, $tg\beta=-0,5$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}<\beta<0$.

1) Дано: $ \cos x = 0,6 $, $ \cos(x+y) = 0 $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $, $ \pi < y < \frac{3\pi}{2} $.
Сначала найдем $ \sin x $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ следует, что $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $.
Так как угол $ x $ находится в первой четверти ($ 0 < x < \frac{\pi}{2} $), его синус положителен. Следовательно, $ \sin x = \sqrt{0,64} = 0,8 $.
Теперь определим значение $ x+y $. Из условия $ \cos(x+y)=0 $, следует, что $ x+y = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - целое число.
Найдем диапазон для суммы $ x+y $, сложив почленно неравенства для $ x $ и $ y $:
$ 0 < x < \frac{\pi}{2} $
$ \pi < y < \frac{3\pi}{2} $
Складывая, получаем: $ \pi + 0 < x+y < \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} $, то есть $ \pi < x+y < 2\pi $.
Единственное значение вида $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, которое попадает в интервал $ (\pi, 2\pi) $, это $ \frac{3\pi}{2} $ (при $ k=1 $).
Итак, $ x+y = \frac{3\pi}{2} $, откуда $ y = \frac{3\pi}{2} - x $.
Теперь мы можем найти $ \cos y $, используя формулу приведения:
$ \cos y = \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin x $.
Так как $ \sin x = 0,8 $, то $ \cos y = -0,8 $.
Это согласуется с тем, что угол $ y $ находится в третьей четверти ($ \pi < y < \frac{3\pi}{2} $), где косинус отрицателен.
Ответ: -0,8.

2) Дано: $ \operatorname{tg}\alpha = 0,5 = \frac{1}{2} $, $ \operatorname{tg}\beta = \frac{1}{3} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.
Для нахождения $ \alpha+\beta $ воспользуемся формулой тангенса суммы: $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta} $.
Подставим известные значения в формулу:
$ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 $.
Из равенства $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = 1 $ следует, что $ \alpha+\beta = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k $ - целое число.
Определим диапазон для суммы $ \alpha+\beta $, сложив неравенства для $ \alpha $ и $ \beta $:
$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $
$ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $
Следовательно, $ 0 < \alpha+\beta < \pi $.
Единственное значение вида $ \frac{\pi}{4} + \pi k $, которое попадает в интервал $ (0, \pi) $, это $ \frac{\pi}{4} $ (при $ k=0 $).
Таким образом, $ \alpha+\beta = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3) Дано: $ \sin\alpha = \frac{40}{41} $, $ \sin\beta = -\frac{9}{41} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $.
Найдем косинусы углов $ \alpha $ и $ \beta $, используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $ и заданные четверти.
Для угла $ \alpha $: $ \cos^2\alpha = 1 - (\frac{40}{41})^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{81}{1681} $.
Так как $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ (I четверть), $ \cos\alpha $ положителен: $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{81}{1681}} = \frac{9}{41} $.
Для угла $ \beta $: $ \cos^2\beta = 1 - (-\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681} $.
Так как $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $ (IV четверть), $ \cos\beta $ положителен: $ \cos\beta = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} $.
Теперь найдем $ \alpha-\beta $, используя формулу косинуса разности: $ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
Подставим найденные значения:
$ \cos(\alpha-\beta) = \frac{9}{41} \cdot \frac{40}{41} + \frac{40}{41} \cdot (-\frac{9}{41}) = \frac{360}{1681} - \frac{360}{1681} = 0 $.
Из равенства $ \cos(\alpha-\beta) = 0 $ следует, что $ \alpha-\beta = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - целое число.
Определим диапазон для разности $ \alpha-\beta $. Из $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $ следует $ 0 < -\beta < \frac{\pi}{2} $.
Сложим неравенства для $ \alpha $ и $ -\beta $:
$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $
$ 0 < -\beta < \frac{\pi}{2} $
Следовательно, $ 0 < \alpha-\beta < \pi $.
Единственное значение вида $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, которое попадает в интервал $ (0, \pi) $, это $ \frac{\pi}{2} $ (при $ k=0 $).
Таким образом, $ \alpha-\beta = \frac{\pi}{2} $.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) Дано: $ \operatorname{tg}\alpha = 3 $, $ \operatorname{tg}\beta = -0,5 = -\frac{1}{2} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $.
Для нахождения $ \alpha+\beta $ воспользуемся формулой тангенса суммы: $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta} $.
Подставим известные значения в формулу:
$ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{3 + (-\frac{1}{2})}{1 - 3 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1 $.
Из равенства $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = 1 $ следует, что $ \alpha+\beta = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k $ - целое число.
Определим диапазон для суммы $ \alpha+\beta $, сложив неравенства для $ \alpha $ и $ \beta $:
$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $
$ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0 $
Следовательно, $ 0 - \frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2} + 0 $, то есть $ -\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2} $.
Единственное значение вида $ \frac{\pi}{4} + \pi k $, которое попадает в интервал $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, это $ \frac{\pi}{4} $ (при $ k=0 $).
Таким образом, $ \alpha+\beta = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.