Номер 4.108, страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.108. Докажите, что:

1) $\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$, если $\text{tg}\alpha=\frac{5}{11}$, $\text{tg}\beta=\frac{3}{8}$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$;

2) $\alpha-\beta=\frac{\pi}{6}$, если $\text{tg}\alpha=\frac{\sqrt{3}a}{4-a}$, $\text{tg}\beta=\frac{a-1}{\sqrt{3}}$, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$.

1)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим известные значения $\text{tg}\alpha = \frac{5}{11}$ и $\text{tg}\beta = \frac{3}{8}$ в формулу:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{11} + \frac{3}{8}}{1 - \frac{5}{11} \cdot \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5 \cdot 8 + 3 \cdot 11}{11 \cdot 8}}{1 - \frac{15}{88}} = \frac{\frac{40 + 33}{88}}{\frac{88 - 15}{88}} = \frac{\frac{73}{88}}{\frac{73}{88}} = 1$

Так как $\text{tg}(\alpha + \beta) = 1$, то $\alpha + \beta$ может быть равно $\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Теперь оценим, в каком диапазоне может находиться сумма $\alpha + \beta$. По условию задачи, оба угла находятся в первой четверти:

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$

Сложив эти два неравенства, получим:

$0 + 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$0 < \alpha + \beta < \pi$

Единственное значение вида $\frac{\pi}{4} + \pi n$, которое попадает в интервал $(0, \pi)$, — это $\frac{\pi}{4}$ (при $n=0$).

Следовательно, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим заданные выражения для $\text{tg}\alpha = \frac{\sqrt{3}a}{4 - a}$ и $\text{tg}\beta = \frac{a - 1}{\sqrt{3}}$:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{\sqrt{3}a}{4-a} - \frac{a-1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{\sqrt{3}a}{4-a} \cdot \frac{a-1}{\sqrt{3}}}$

Упростим числитель и знаменатель дроби:

Числитель: $\frac{\sqrt{3}a}{4-a} - \frac{a-1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}a - (a-1)(4-a)}{\sqrt{3}(4-a)} = \frac{3a - (4a - a^2 - 4 + a)}{\sqrt{3}(4-a)} = \frac{3a - (5a - a^2 - 4)}{\sqrt{3}(4-a)} = \frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4-a)}$

Знаменатель: $1 + \frac{\sqrt{3}a(a-1)}{\sqrt{3}(4-a)} = 1 + \frac{a(a-1)}{4-a} = \frac{4-a + a^2-a}{4-a} = \frac{a^2 - 2a + 4}{4-a}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4-a)}}{\frac{a^2 - 2a + 4}{4-a}} = \frac{a^2 - 2a + 4}{\sqrt{3}(4-a)} \cdot \frac{4-a}{a^2 - 2a + 4} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Так как $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\alpha - \beta$ может быть равно $\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Оценим возможный диапазон для разности $\alpha - \beta$. Из условий $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ следует, что $-\frac{\pi}{2} < -\beta < 0$. Сложим неравенства для $\alpha$ и $-\beta$:

$0 - \frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2} + 0$

$-\frac{\pi}{2} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$

Единственное значение вида $\frac{\pi}{6} + \pi n$, которое попадает в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, — это $\frac{\pi}{6}$ (при $n=0$).

Следовательно, $\alpha - \beta = \frac{\pi}{6}$, что и требовалось доказать.

Заметим, что для существования тангенсов и выполнения условия $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}$, необходимо, чтобы $\text{tg}\alpha > 0$ и $\text{tg}\beta > 0$. Это накладывает ограничения на параметр $a$: $1 < a < 4$, при которых вычисления корректны.

Ответ: Равенство доказано.