Номер 4.111, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.111. Упростите выражения:

1) $\sin^2\left(\frac{\pi}{3} + x\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + \sin^2 x;$

2) $\cos^2 x + \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) + \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right);$

3) $\cos(x-y)(\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y-1)+(1+\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y)\cos(x+y);$

4) $(\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y+1)\cos(x+y)+(1-\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y)\cos(x-y);$

5) $\frac{\sin^2(x-y) + \sin^2(x+y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} - \operatorname{tg}^2 x;$

6) $\operatorname{ctg}^2 x \operatorname{ctg}^2 y - \frac{\cos^2(x-y) + \cos^2(x+y)}{2\sin^2 x \sin^2 y}.$

1) Для упрощения выражения $ \sin^2\left(\frac{\pi}{3} + x\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + \sin^2 x $ воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим эту формулу к каждому слагаемому:
$ \sin^2\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{3} + x\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2x\right)}{2} $
$ \sin^2\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right)}{2} $
$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $

Теперь сложим полученные выражения:
$ \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2x\right)}{2} + \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right)}{2} + \frac{1 - \cos(2x)}{2} $
$ = \frac{1}{2} \left( 3 - \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2x\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right) - \cos(2x) \right) $

Используем формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ для первых двух косинусов в скобках:
$ \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2x\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2x\right) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)\cos(2x) = -\cos(2x) $

Подставим результат обратно в выражение:
$ \frac{1}{2} \left( 3 - (-\cos(2x)) - \cos(2x) \right) = \frac{1}{2} (3 + \cos(2x) - \cos(2x)) = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $

2) Для упрощения выражения $ \cos^2 x + \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) + \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right) $ воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим формулу к каждому слагаемому:
$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $
$ \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{2\pi}{3} - x\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3} - 2x\right)}{2} $
$ \cos^2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{2\pi}{3} + x\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3} + 2x\right)}{2} $

Сложим полученные выражения:
$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3} - 2x\right)}{2} + \frac{1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3} + 2x\right)}{2} $
$ = \frac{1}{2} \left( 3 + \cos(2x) + \cos\left(\frac{4\pi}{3} - 2x\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{3} + 2x\right) \right) $

Используем формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos\left(\frac{4\pi}{3} - 2x\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{3} + 2x\right) = 2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)\cos(2x) = -\cos(2x) $

Подставим результат обратно в выражение:
$ \frac{1}{2} (3 + \cos(2x) - \cos(2x)) = \frac{3}{2} $
Ответ: $ \frac{3}{2} $

3) Рассмотрим выражение $ \cos(x-y)(\tan x \tan y - 1) + (1 + \tan x \tan y)\cos(x+y) $.

Преобразуем выражения в скобках, используя $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:
$ \tan x \tan y - 1 = \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} - 1 = \frac{\sin x \sin y - \cos x \cos y}{\cos x \cos y} = -\frac{\cos x \cos y - \sin x \sin y}{\cos x \cos y} = -\frac{\cos(x+y)}{\cos x \cos y} $
$ 1 + \tan x \tan y = 1 + \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\cos x \cos y + \sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\cos(x-y)}{\cos x \cos y} $

Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$ \cos(x-y)\left(-\frac{\cos(x+y)}{\cos x \cos y}\right) + \left(\frac{\cos(x-y)}{\cos x \cos y}\right)\cos(x+y) $
$ = -\frac{\cos(x-y)\cos(x+y)}{\cos x \cos y} + \frac{\cos(x-y)\cos(x+y)}{\cos x \cos y} = 0 $
Ответ: $ 0 $

4) Рассмотрим выражение $ (\cot x \cot y + 1)\cos(x+y) + (1 - \cot x \cot y)\cos(x-y) $.

Преобразуем выражения в скобках, используя $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $:
$ \cot x \cot y + 1 = \frac{\cos x \cos y}{\sin x \sin y} + 1 = \frac{\cos x \cos y + \sin x \sin y}{\sin x \sin y} = \frac{\cos(x-y)}{\sin x \sin y} $
$ 1 - \cot x \cot y = 1 - \frac{\cos x \cos y}{\sin x \sin y} = \frac{\sin x \sin y - \cos x \cos y}{\sin x \sin y} = -\frac{\cos x \cos y - \sin x \sin y}{\sin x \sin y} = -\frac{\cos(x+y)}{\sin x \sin y} $

Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$ \left(\frac{\cos(x-y)}{\sin x \sin y}\right)\cos(x+y) + \left(-\frac{\cos(x+y)}{\sin x \sin y}\right)\cos(x-y) $
$ = \frac{\cos(x-y)\cos(x+y)}{\sin x \sin y} - \frac{\cos(x+y)\cos(x-y)}{\sin x \sin y} = 0 $
Ответ: $ 0 $

5) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin^2(x-y) + \sin^2(x+y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} - \tan^2 x $.

Раскроем числитель дроби, используя формулы синуса суммы и разности:
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \sin^2(x-y) = \sin^2 x \cos^2 y - 2\sin x \cos y \cos x \sin y + \cos^2 x \sin^2 y $
$ \sin^2(x+y) = \sin^2 x \cos^2 y + 2\sin x \cos y \cos x \sin y + \cos^2 x \sin^2 y $

Сумма этих выражений:
$ \sin^2(x-y) + \sin^2(x+y) = 2(\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y) $

Подставим это в дробь:
$ \frac{2(\sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y)}{2\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\sin^2 x \cos^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} + \frac{\cos^2 x \sin^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} = \tan^2 x + \tan^2 y $

Теперь подставим результат в исходное выражение:
$ (\tan^2 x + \tan^2 y) - \tan^2 x = \tan^2 y $
Ответ: $ \tan^2 y $

6) Рассмотрим выражение $ \cot^2 x \cot^2 y - \frac{\cos^2(x-y) + \cos^2(x+y)}{2\sin^2 x \sin^2 y} $.

Раскроем числитель дроби, используя формулы косинуса суммы и разности:
$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
$ \cos^2(x-y) = \cos^2 x \cos^2 y + 2\cos x \cos y \sin x \sin y + \sin^2 x \sin^2 y $
$ \cos^2(x+y) = \cos^2 x \cos^2 y - 2\cos x \cos y \sin x \sin y + \sin^2 x \sin^2 y $

Сумма этих выражений:
$ \cos^2(x-y) + \cos^2(x+y) = 2(\cos^2 x \cos^2 y + \sin^2 x \sin^2 y) $

Подставим это в дробь:
$ \frac{2(\cos^2 x \cos^2 y + \sin^2 x \sin^2 y)}{2\sin^2 x \sin^2 y} = \frac{\cos^2 x \cos^2 y}{\sin^2 x \sin^2 y} + \frac{\sin^2 x \sin^2 y}{\sin^2 x \sin^2 y} = \cot^2 x \cot^2 y + 1 $

Теперь подставим результат в исходное выражение:
$ \cot^2 x \cot^2 y - (\cot^2 x \cot^2 y + 1) = \cot^2 x \cot^2 y - \cot^2 x \cot^2 y - 1 = -1 $
Ответ: $ -1 $