Номер 4.115, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.115. Упростите выражения:

1) $ \cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos^2 \frac{\alpha}{2}; $

2) $ 1 - 4\sin^2x\cos^2x; $

3) $ \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}2\alpha; $

4) $ \frac{\cos 2x}{\sin x} + \frac{\sin 2x}{\cos x}; $

5) $ \frac{\cos^2 x}{\operatorname{tg} \frac{x}{2} - \operatorname{ctg} \frac{x}{2}}; $

6) $ \cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}. $

1) Упростим выражение $cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
Заметим, что $4\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos^2 \frac{\alpha}{2} = (2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2})^2$.
По формуле синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, имеем $2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha$.
Тогда выражение принимает вид: $cos^2 \alpha - (\sin \alpha)^2 = cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
По формуле косинуса двойного угла, это равно $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$.

2) Упростим выражение $1 - 4\sin^2 x \cos^2 x$.
Перепишем его как $1 - (2\sin x \cos x)^2$.
Применяя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получаем:
$1 - (\sin(2x))^2 = 1 - \sin^2(2x)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, имеем $1 - \sin^2(2x) = \cos^2(2x)$.
Ответ: $\cos^2(2x)$.

3) Рассмотрим выражение $\ctg\alpha - \ctg2\alpha$.
Представим котангенсы через синусы и косинусы: $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{\cos\alpha \sin2\alpha - \cos2\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha \sin2\alpha}$.
Числитель соответствует формуле синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, где $A=2\alpha$ и $B=\alpha$.
Таким образом, числитель равен $\sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.
Выражение упрощается до $\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha \sin2\alpha} = \frac{1}{\sin2\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin2\alpha}$.

4) Упростим выражение $\frac{\cos 2x}{\sin x} + \frac{\sin 2x}{\cos x}$.
Приведем к общему знаменателю $\sin x \cos x$: $\frac{\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x}{\sin x \cos x}$.
Числитель соответствует формуле косинуса разности $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, где $A=2x$ и $B=x$.
Таким образом, числитель равен $\cos(2x - x) = \cos x$.
Выражение упрощается до $\frac{\cos x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin x}$.

5) Упростим выражение $\frac{\cos^2 x}{\tg \frac{x}{2} - \ctg \frac{x}{2}}$.
Сначала преобразуем знаменатель: $\tg \frac{x}{2} - \ctg \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$.
Числитель равен $-(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) = -\cos x$.
Знаменатель дроби в знаменателе равен $\frac{1}{2}(2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}\sin x$.
Таким образом, весь знаменатель равен $\frac{-\cos x}{\frac{1}{2}\sin x} = -2\frac{\cos x}{\sin x} = -2\ctg x$.
Подставляем обратно в исходное выражение: $\frac{\cos^2 x}{-2\ctg x} = \frac{\cos^2 x}{-2\frac{\cos x}{\sin x}} = -\frac{\cos^2 x \sin x}{2\cos x} = -\frac{\sin x \cos x}{2}$.
Используя $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем $-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) = -\frac{1}{4}\sin(2x)$.
Ответ: $-\frac{1}{4}\sin(2x)$.

6) Упростим выражение $\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}$.
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ и $b = \sin^2 \frac{\alpha}{2}$.
Получаем: $(\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2})(\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2})$.
Первая скобка — это формула косинуса двойного угла $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$, которая дает $\cos \alpha$.
Вторая скобка — это основное тригонометрическое тождество, равное 1.
Таким образом, выражение равно $\cos\alpha \cdot 1 = \cos\alpha$.
Ответ: $\cos\alpha$.